Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 01

[geo]

$\quad$

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninin kenarlarına $K$ noktasından indirilen dikmelerin ayakları $D, E, F$ dir. $$|BC|=a, \quad |CA|=b, \quad |AB|=c,$$ $$|CD|=x, \quad |AE|=y, \quad |BF|=z$$ ise $ax + by + cz$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$
\textbf{a)}\ 2ab
\qquad\textbf{b)}\ ab
\qquad\textbf{c)}\ a^2
\qquad\textbf{d)}\ b^2
\qquad\textbf{e)}\ c^2
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$ABC$ dik üçgeninde Pisagor teoreminden $c^2 = a^2 + b^2$ dir. Öte yandan, Carnot teoreminden $(a-x)^2 + (b-y)^2 + (c-z)^2 = x^2 + y^2 + z^2$ olup parantezler açılırsa,
$$ a^2 + b^2 + c^2 = 2(ax + by + cz) $$

olur. Böylece, $2c^2 = 2(ax+ by + cz)$ eşitliğinden $ax+ by + cz = c^2$ sonucuna ulaşırız.