Kare ve Eşkenar Üçgende Açı {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem: Bir $ABCD$ karesinde $BC$ kenarı üzerine dışarı doğru $BCS$ eşkenar üçgeni çiziliyor. $AS$ doğru parçasının orta noktası $N$, $CD$ kenarının orta noktası $H$ olsun. $\angle NHC$ kaç derecedir?

[geo]

$AS$ ile $DC$, $T$ noktasında keşissin.
Burada verilen dörtgen özelliğine göre (Sonraki iletilerde 6 farklı ispatı verilmekte) $\angle NHC = \dfrac {\angle ADC + \angle SCT }2 = \dfrac{90^\circ + 30^\circ}2 = 60^\circ$

[Lokman Gökçe]

Geo hocam, çok güzel yakalamışsınız dörtgen özelliğini. Bildiğim bir özellikti ama burada karşımıza çıktığını hiç fark etmemiştim. Tebrik ediyorum. $15-75-90$ vb üçgenleri kullanarak bir çözüm yapmıştım. Uygun bir zamanda yazıp paylaşabilirim.

[Lokman Gökçe]

Bahsettiğim çözümümü paylaşayım. Özel üçgenlerdeki bazı açı-uzunluk hesaplama yöntemlerini kullandım.


Çözüm 2: $N$ den geçen ve $AB$ ye dik olan doğruyu çizelim. Bu doğru $AB$, $CD$ kenarlarını sırasıyla $K,L$ noktalarında kessin. $|BA|=|BS|$ olduğundan $\angle BAS=\angle BSA = 15^\circ$ dir. Ayrıca $BN\perp AS$ olur. Böylece $ANB$ üçgeninin açılarının $15^\circ, 75^\circ , 90^\circ $ olduğunu anlarız. $|NK|=h$ denirse $|AB|=4h$ olur. Böylece $|NL|=3h$, $|DH|=|HC|=2h$ olur. Ayrıca $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ olduğundan $|CL|=|BK|=(2 - \sqrt{3})h$ olur. $|HL|=|HC|-|LC|= \sqrt{3}h$ elde edilir. $\dfrac{|NL|}{|HL|}=\sqrt{3}$ olduğundan $\angle NHC = 60^\circ $ bulunur.