n(n+1)(n+2)(n+3)=m(m+1)(m+2)=t(t+1) Diophantine Denklemi {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem [Lokman GÖKÇE]: $n(n+1)(n+2)(n+3)=m(m+1)(m+2)=t(t+1)$  denklemini sağlayan tüm $(n,m,t)$ tam sayı üçlülerini bulunuz.



Not: $n(n+1)(n+2)=m(m+1)$ problemine benzer olarak yukarıda sorduğum Diophantine denkleminin pozitif tam sayılardaki çözümleriyle Dans Pistindeki Erkeklerin Sayısı sorusunun kurgulanması aşamasında ilgilendim. Sorunun çıkış noktası ile ilgili böyle bir anekdot paylaşmış olalım.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: Öncelikle $n(n+1)(n+2)(n+3)=t(t+1)$ Diophantine denklemi ile ilgilenelim. $t=0$, $t=-1$ durumları dışında çözüm olmadığını göstereceğiz.

$\color{red} \bullet $ $t=0$ veya $t=-1$ iken $n(n+1)(n+2)(n+3)=0$ ve $m(m+1)(m+2)=0$ olup $n\in \{ 0,-1,-2,-3 \}$, $m\in \{ 0,-1,-2 \}$ çözümleri elde edilir. Böylece $2\cdot 3 \cdot 4 = 24$ tane $(n,m,t)$ tam sayı üçlüsü çözümü bulunur.

$\color{red} \bullet $ $t\neq 0, -1$ olsun. Dolayısıyla $n \neq 0,-1,-2,-3$ olur. Bu durumda $t(t+1)\geq 2$ biçiminde bir pozitif tam sayı gösterir. $n(n+1)(n+2)(n+3)=t(t+1)$ denkleminde her iki tarafa $+1$ ekleyelim.

$n(n+3)=a$ denirse $(n+1)(n+2)=n^2 + 3n + 2 = a + 2$ olur. Elbette $a$ değeri de bir pozitif tam sayı gösterir. Böylece $a^2 +2a + 1 = t^2 + t + 1$ dir. Sol tarafın tam kare olduğun görüyoruz. Denklemi $4$ ile genişleterek sağ tarafın da tam kareye tamamlayalım. $(2a+2)^2 = 4t^2 + 4t + 4 $ olup $(2a+2)^2 - (2t+1)^2 = 3$ olur.

\begin{equation*}
\left\{
\begin{split}
2a +2 + 2t + 1 & = 3 \\
2a +2 - 2t - 1 & = 1
\end{split}
\right.
\quad , \quad
\left\{
\begin{split}
2a +2 + 2t + 1 & = 1 \\
2a +2 - 2t - 1 & = 3
\end{split}
\right.
\end{equation*}

durumlarından $(a,t) = (1, -1), (1,0)$ çözümlerini elde ederiz. Daha önce $t=0,-1$ durumlarını incelemiştik ve artık  $t \neq 0,-1$ olsun demiştik. Yani bu halde yeni bir çözüm yoktur.

Toplamda, çözüm üçlülerinin sayısı $\boxed{24}$ olur.