Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 20

[matematikolimpiyati]

Başlangıçta koordinat düzleminde $(1,1)$ noktası kırmızıya boyalıdır. Her adımda kırmızıya boyalı bir $(x,y)$ noktası için hem $(x+2,y+1)$ noktası hem de $(2x+y,2x)$ noktası kırmızıya boyanıyor. Buna göre $(100,60)$, $(70,70)$, $(150,100)$ ve $(120,200)$ noktalarından kaç tanesi sonlu adım sonunda kırmızıya boyanmış olabilir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Her adımda $x$ ve $y$ koordinatlarının pozitif olduğunu rahatça görebiliriz. Eğer $x\geq y$ ise $x+2> y+1$ ve $2x+y>2x$ olacaktır. Dolayısıyla başlangıç noktası hariç tüm kırmızı noktalar $x=y$ doğrusunun altında olacaktır. Bu yüzden $(120,200)$ ve $(70,70)$ noktaları kırmızı olamaz. $$x+y\equiv (x+2)+(y+1)\equiv (2x+y)+2x\pmod{3}$$ olduğundan kırmızı noktalarının koordinatlarının toplamı $3$'e bölündüğünden $1+1=2$ kalanı vermelidir. Dolayısıyla $(100,60)$, $(150,100)$ noktaları kırmızı olamaz. Verilen hiçbir nokta kırmızı olamaz.