Gönderen Konu: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21  (Okunma sayısı 53 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 151
  • Karma: +1/-0
2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21
« : Mayıs 11, 2022, 02:12:04 ös »
21.1
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=1010$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 10$

21.2
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=1212$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 13$

21.3
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=909$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 10$

21.4
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=808$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.5
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=707$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.6
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=606$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.7
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=505$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.8
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=404$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.9
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=1111$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 18$

Çevrimiçi taftazani44

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 246
  • Karma: +2/-0
Ynt: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21
« Yanıtla #1 : Mayıs 13, 2022, 12:46:47 öö »
$\begin{aligned}p\left( x\right) =a[ x\left( x-1\right) \left( x-2\right) \ldots \left( x-100\right) +\dfrac{x}{a}] \end{aligned}$
Alalım.bu polinom p(0)=0,p(1)=1,...,p(100)=100 eşitliklerini sağlar.
x=101 için
$\begin{aligned}P\left( 101\right) =a[ 101\cdot 100.99\ldots 1+\dfrac{101}{a}] =1010\end{aligned}$
Eşitliği sağlanır.


$\begin{aligned}a\cdot 101!+101=1010\\ a101!=1010-101\\ a=\dfrac{9\cdot 101}{101!}\\ a=\dfrac{9}{100!}\end{aligned}$
Böylece a nın 100! Katı 9 bulunur.
nurettin koca

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal