Çözüm (Lokman GÖKÇE): Aranan en büyük değer $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ olmalıdır.
$z = 2 - (x+y)$ değerini ikinci denklemde yazarsak $z$ değişkenini yok edelim. $xy + (2- (x+y))(x+y) = 1$ olup düzenlersek
$$x^2 + y^2 + xy - 2x - 2y + 1 = 0$$
olur. Şimdi $x-y=n$ diyelim ve $n$ gerçel sayısının en büyük değerini bulalım. $y=x-n$ olup bu değeri son denklemde yazarsak $x^2 + (x-n)^2 + x(x-n) - 2x - 2(x-n) + 1 =0$ olur. Bu denklemi de $x$'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak düzenlersek,
$$ 3x^2 - (3n+4)x + (n+1)^2 =0 $$
elde ederiz. $x$ bir gerçel sayı olduğundan denklemin disktiminantı $\Delta \geq 0$ olmalıdır. $\Delta = (3n+4)^2 - 4\cdot 3 \cdot (n+1)^2 \geq 0$ eşitsizliğinden $3n^2 \leq 4$ buluruz. Buradan $$ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \leq n \leq \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $$
olup $n_\max = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ değerini elde ederiz. Bu değeri veren $x$ gerçel sayısını da bulmak istersek, tepe noktası fikriyle $x = \dfrac{3n+4}{2}$ eşitliğini kullanabiliriz. Bu $x$ değerine bağlı olarak $y=x-n$ denkleminden dolayı $y, z$ değerlerinin de gerçel sayı olacağı açıktır.
