Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2021 Soru 3  (Okunma sayısı 33 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 151
  • Karma: +1/-0
Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2021 Soru 3
« : Mayıs 11, 2022, 04:26:46 öö »
$x,y,z$ gerçel sayılar olmak üzere

$x+y+z=2,$      $xy+yz+zx=1$

ise, $x-y$ nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3230
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2021 Soru 3
« Yanıtla #1 : Dün, 03:26:58 ös »
Çözüm (Lokman GÖKÇE): Aranan en büyük değer $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ olmalıdır.

$z = 2 - (x+y)$ değerini ikinci denklemde yazarsak $z$ değişkenini yok edelim. $xy + (2- (x+y))(x+y) = 1$ olup düzenlersek

$$x^2 + y^2 + xy - 2x - 2y + 1 = 0$$

olur. Şimdi $x-y=n$ diyelim ve $n$ gerçel sayısının en büyük değerini bulalım. $y=x-n$ olup bu değeri son denklemde yazarsak $x^2 + (x-n)^2 + x(x-n) - 2x - 2(x-n) + 1 =0$ olur. Bu denklemi de $x$'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak düzenlersek,

$$ 3x^2 - (3n+4)x + (n+1)^2 =0 $$

elde ederiz. $x$ bir gerçel sayı olduğundan denklemin disktiminantı $\Delta \geq 0$ olmalıdır. $\Delta = (3n+4)^2 - 4\cdot 3 \cdot (n+1)^2 \geq 0$ eşitsizliğinden $3n^2 \leq 4$ buluruz. Buradan $$ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \leq n \leq  \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $$

olup $n_\max = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ değerini elde ederiz. Bu değeri veren $x$ gerçel sayısını da bulmak istersek, tepe noktası fikriyle $x = \dfrac{3n+4}{2}$ eşitliğini kullanabiliriz. Bu $x$ değerine bağlı olarak $y=x-n$ denkleminden dolayı $y, z$ değerlerinin de gerçel sayı olacağı açıktır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal