2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

• Tweet

7.1
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,149,150 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$  ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.2
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,139,140 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$  ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.3
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,109,110 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$  ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.4
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,179,180 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$  ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.5
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,199,200 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$  ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.6
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,129,130 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$  ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.7
$n \in \{ 20,21,22, \cdots ,159,160 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$  ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 13$

7.8
$n \in \{ 19,20,21, \cdots ,189,190 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$  ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 11$

7.9
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,79,80 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$  ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 9$

[taftazani44]

• Tweet

$n!\left( n+1\right) !=\left( n+1\right) \left( n!\right) ^{2}$
Şeklinde yazarsak,n+1 sayılarının tamkare olması gerektiği görülür .
n+1=4,9,16,...,144 yani 11 tanedir.
Aynı şekilde
$ \begin{aligned}n!\left( n+2\right) !=\left( n!\right) ^{2}\cdot \left( n+2\right) \left( n+1\right) \end{aligned}$
yazarsak ,(n+1)(n+2) nin tamkare olamayacağı görülür.
A+B=11 olur.