Gönderen Konu: Faydalı Bir Eşitsizlik (Sedrakyan's inequality) Üzerine Bazı Bilgiler  (Okunma sayısı 173 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3238
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Bu yazıda Faydalı eşitsizlik ile ilgili bir kolay bir problem ve eşitsizliğin kökeni ile ilgili bazı bilgiler sunacağız.


Problem: $a, b, c$ pozitif gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2=1$ eşitliğini sağladığına göre, $$S=\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?




Cauchy-Schwartz eşitsizliğinin bir türü olup İlham Aliyev hocamız tarafından da Faydalı Bir Eşitsizlik ismiyle Tübitak matematik olimpiyat kamplarında anlatılan bir eşitsizlik vardır. Bu eşitsizlik bazı Amerikalılar tarafından, (Hem ABD takımının önemli eğitmenlerinden Titu Andreescu'ya hem de yıkıcı gücüyle Terminatör 2'ye gönderme yapılarak) Titu's Lemma, T2 Lemma gibi cıvık isimlerle internette yayılmaya çalışılmıştır. (Bkz. Wikipedia ve AoPS.) Öte taraftan ulaşabildiğim kaynaklara göre faydalı eşitsizliği ilk olarak 1997'de Rusça olarak Kvant dergisinde yayımlayan Ermeni matematikçi Nairi Sedrakyan olup makalenin İngilizce çeviri ismi About the applications of one useful inequality dir. (Bağlantıya ulaşma sorunu olursa makaleyi aşağıya PDF olarak ekledim.) Ya da Türkçe olarak Faydalı Bir Eşitsizliğin Uygulamaları Üzerine ismiyle çevirebiliriz. Daha sonra N. Serdakyan'a ayıp edildiğini düşünen kimseler olsa gerek, Wikipedia'da Sedrakyan's inequality ismiyle bir başlık açılmıştır. Sedrakyan'dan sonra bu eşitsizlikle ilgilenen kişilerden olan Arthur Engel ve Titu Andreescu'dan da bu bağlantıda bahsedilmiştir. Orijinal ismine sadık kalarak bizlere sunması yönüyle İlham Aliyev hocamızın, eşitsizliğin kime ait olduğu bilgisine sahip olduğunu anlıyoruz. Bu kadar bilgilendirmeden sonra çözüme geçebiliriz.


Çözüm:

Faydalı eşitsizlikten $ S=\dfrac{(a^2)^2}{b^2}+\dfrac{(b^2)^2}{c^2}+\dfrac{(c^2)^2}{a^2} \geq  \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$ olup $S \geq 1$ elde edilir. Eşitlik durumu $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ iken sağlanır. Böylece $S_\min = 1$ sonucuna ulaşırız.
« Son Düzenleme: Şubat 13, 2022, 06:12:23 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal