(k_1 = 1, N=1.4, 1.5, 2.4, 2.5) Kesen Problemi

[geo]

$\triangle ABC$ de $BC$ kenarının orta noktası $D$ için $\angle ABD + \angle DAC = 90^\circ$ şartı sağlanıyorsa $\triangle ABC$ nin ikizkenar veya dik üçgen olduğunu gösteriniz.

[Squidward]

$AD$ ile çevrel çemberin kesiştiği nokta $E$ olsun, $\angle AEC = \angle ABC $ olduğundan $\angle ECA = 180^\circ - \angle ABD - \angle DAC = 90^\circ$ olduğundan $AE$, üçgenin çevrel çemberinin çapıdır, $[AE]$'nin orta noktası $O$ olsun. $O$'nun $ABC$'nin çevrel çember merkezi olduğu açıktır.

Durum 1: $BOC$ üçgen oluşturur ise $BOC$ üçgeninde $|BO| = |OC|$ olduğundan ikizkenardır, $OD$, $BOC$'de kenarortay olduğundan aynı zamanda yüksekliktir. $AD$, $ABC$ üçgeninde hem kenarortay hem yükseklik olduğundan $ABC$ ikizkenardır.

Durum 2: $BOC$ üçgen oluşturmaz ise diğer bir deyişle $B$, $O$ ve $C$ doğrusal ise $|BO| = |OC|$ ve $O$, $B$ ile $C$'nin arasında olduğundan $O = D$'dir. $|BD| = |AD|$ olduğundan $\angle DBA  = \angle BAD$'dir ve $\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = \angle ABD + \angle DAC = 90^\circ$'dir, $ABC$ dik üçgendir.