Özdeş olmayan çözüm dörtlülerinin sayısı $1297$ dir!
Özdeşlikten kastımız $(1,1,1,2^8\cdot 3^8)$, $(1,1,2^8\cdot 3^8,1)$, $(1,2^8\cdot 3^8,1,1)$, $(2^8\cdot 3^8,1,1,1)$ gibi elemanlarının yerleri değiştirilmesi sonucu biri diğerinden elde edilebilen dörtlülerdir. Amacımız bu tür özdeş dörtlüleri yalnızca bir kez saymaktır. Yani $a\ge b \ge c \ge d$ özelliğindeki çözümlerin sayısını bulmalıyız. Bu eşitsizliği sağlayan çözüm dörtlüleri birbirinin özdeşi değildir.
$a=2^{n_a}3^{m_a}$, $b=2^{n_b}3^{m_b}$, $c=2^{n_c}3^{m_c}$, $d=2^{n_d}3^{m_d}$ diyelim. $abcd = 2^{n_a + n_b + n_c + n_d} \cdot 3^{m_a + m_b + m_c + m_d} = 2^8 \cdot 3^8$ olup
$$\begin{array}{lcr}
n_a + n_b + n_c + n_d & = & 8 \\
m_a + m_b + m_c + m_d & = & 8
\end{array}$$
denklem sisteminin çözüm sayısı $\dbinom{11}{3}^2=27225$ tir. Fakat bu bizim için çok büyük bir yanıttır. Çünkü burada özdeş olan çözümler de vardır.
1. Durum: $(a,a,a,b)$ ve $a \ne b$ biçimindeki çözümler
$$ \begin{array}{lcr}
3n_a + n_b & = & 8 \\
3m_a +m_b & = & 8
\end{array} $$
$3\cdot 3 =9$ tanedir. Ancak bunların içindeki $(n_a,n_b)=(m_a,m_b)=(2,2)$ durumundan $a=b$ elde edildiği için istenmeyen bir durumdur. Böylece 1. duruma uyan çözüm sayısı $9-1=\boxed 8$ dir.
Uyarı 1: Bu durumlar $a=b=c>d$ ve $a>b=c=d$ özdeş olmayan alt durumlarını da içerir.
2. Durum: $(a,a,b,b)$ ve $a \ne b$ biçimindeki çözümler
$$ \begin{array}{lcr}
2n_a + 2n_b & = & 8 \\
2m_a +2m_b & = & 8
\end{array} $$
denklemlerinden $(n_a,n_b)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$ ve $(m_a,m_b)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$ olarak elde edilir. $5\cdot 5 =25$ çözüm vardır. Fakat $(n_a,n_b)=(m_a,m_b)=(2,2)$ için $a=b$ istenmeyen bir durumdur. Böylece 2. duruma uyan çözüm sayısı $25-1=24$ tür.
Uyarı 2: Bu durum, $a=b>c=d$ ve $a=b<c=d$ özdeş alt durumlarını da içerir. Böylece $\dfrac{24}{2}=\boxed{12}$ tane özdeş olmayan alt durum vardır.
3. Durum: $(a,a,b,c)$ ve $a \ne b \ne c \ne a$ biçimindeki çözümler
$$ \begin{array}{lcr}
2n_a + n_b +n_c & = & 8 \\
2m_a +m_b +m_c & = & 8
\end{array} $$
denklemlerinden $(n_a,n_b,n_c)=(0,8,0),\dots ,(4,0,0)$ ve $(m_a,m_b,m_c)=(0,8,0),\dots ,(4,0,0)$ olup $25\cdot 25 =625$ tanedir. Ancak
$(n_a,n_b),(m_a,m_b)\in \{(0,0),(1,1),(2,2)\}$ için $a=b$ istenmeyen durumları elde edilir. $3\cdot3=9$ tanedir.
$(n_a,n_c),(m_a,m_c)\in \{(0,0),(1,1),(2,2)\}$ için $a=c$ istenmeyen durumları elde edilir. $3\cdot3=9$ tanedir.
$(n_b,n_c),(m_b,m_c)\in \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$ için $b=c$ istenmeyen durumları elde edilir. $5\cdot 5=25 $ tanedir.
Ayrıca $(n_a=n_b,n_c)=(m_a=m_b,m_c)=(2,2)$ durumu $3$ kez sayıldı. Böylece $625-9-9-25+2=584$ durum bulunur.
Uyarı 3: Bu durum $a=b>c>d$ ve $a=b>d>c$ alt durumlarını içerir. Böylece özdeş olmayan alt durum sayısı $\dfrac{584}{2}=\boxed{292}$ dir.
Son Durum: $(a,a,a,a)$ biçimindeki çözümler. Açıkça bu türlü çözüm yalnızca $\boxed{1}$ tanedir.
Bu dört durumu göz önüne alarak $(a,b,c,d)$ biçiminde her bir bileşenin birbirinden farklı olduğu durumların sayısını $$\dfrac{27225-\dbinom{4}1\cdot 8 -\dbinom{4}2\cdot 12 -\dfrac{4!}{2!}\cdot 292 -1 }{4!}= \boxed{984}$$ olarak hesaplayabiliriz.
Böylece özdeş olmayan tüm durumların toplamı $984 + 8 +12 + 292 +1=1297$ bulunur.
Not: Bu problemimi geomania'da yayınlamadan bir gün önce (9 Nisan 2017 tarihinde)
burada yayınlamıştım. Alternatif çözümleri incelemek isteyenler için bağlantıyı sunalım. Konu ile ilgilenen bazı yabancı kombinatorik hocaları, problemimin Çarpımsal Parçalanışlar (Multiplicative Partitions) isimli bir problem türüne karşılık geldiğini belirttiler.
