Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 1

[MATSEVER 27]

$AB $ $||$ $CD$ ve $AB >CD$ olan bir $ABCD$ teğetler dörtgeninde $ABC$ nin içteğet çemberi $AB$ ve $AC$ ye sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında teğet olduğuna göre $ABCD$ dörtgenin iç merkezinin $MN$ doğrusu üzerinde yer aldığını gösteriniz.

[alpha]

$ABC$ üçgeninin üç teğet çemberinin merkezine $I$ teğetler dörtgenin merkezine $O$ diyelim.


$AXB$ üçgeninde $N$,$O$,$M$ noktaları için menelaus teoreminin doğruluğunu inceleyelim.$OB$ doğrusu ile $AC$nin kesişim noktası $X$ olsun.


$\dfrac{NX}{AN}$.$\dfrac{AM}{BM}$.$\dfrac{OB}{XO}$$=1$ doğruluğuna bakalım. $AM=AN$ olduğundan buradan $\dfrac{OB}{MB}$$=$$\dfrac{XO}{XN}$ gelir.


$COB$ ve $MIB$ üçgenleri için benzerlik yazarsak $\dfrac{OB}{MB}$=$\dfrac{CO}{IM}$=$\dfrac{BC}{IB}$.


Yerine yazarsak $\dfrac{XO}{XN}$=$\dfrac{CO}{IN}$ ifadesi gelir ki bu ifade de $CXO$ ve $XNI$ üçgenlerinin benzerliğinden doğrudur. Buradan menelausun doğruluğu ispatlanır. Ve ispat biter.