Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 02

[geo]

$xy = 4(y^2+x)$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$$\begin{array}{rcl}
x(y-4) &=& 4y^2 \\
x &=& \dfrac{4y^2}{y-4} \\
&=& \dfrac{4(y^2-16) + 64}{y-4} \\
&=& 4(y+4) + \dfrac{64}{y-4}
\end{array}$$ $x$ in tam sayı olması için $(y-4) | 64$ gerekir. $64$ ün pozitif bölenleri sayısı $d(64 = 2^6) = 7$, tüm bölenleri sayısı da $7\cdot 2 = 14$ tür. Bu durumda her $y$ değeri için otomatik olarak $x$ değeri belirleneceği için $(x,y)$ ikililerinin sayısı $14$ tür.

[geo]

$x(y-4) = 4y^2$ haline getirdikten sonra $z=y-4$ değişikliği yapalım.
$xz = 4(z+4)^2=4z^2+32z+64 \Longrightarrow x = 4z + 32 + \dfrac{64}{z}$ elde edilir.
$\dfrac{64}{z}$ ifadesini tam sayı yapan $14$ farklı $z$ tam sayısı vardır.