Tübitak Lise Takım Seçme 2004 Soru 5

[Lokman Gökçe]

• Tweet

$D$, dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $O$ merkezli çevrel çemberinin küçük $AC$ yayı üzerinde $A$ ve $C$ den farklı bir nokta olsun. $\lbrack AB\rbrack $ kenarı üzerinde $\widehat{ADP}=\widehat{OBC}$ olacak biçimde $P$ noktası, $\lbrack BC\rbrack $ kenarı üzerinde ise $\widehat{CDQ}=\widehat{OBA}$ olacak biçimde bir $Q$ noktası alınıyor. $\widehat{DPQ}=\widehat{DOC}$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

• Tweet

$\angle OCB=\alpha$, $\angle OAB=\beta$ ve $\angle DBC=\theta$ olsun.

$\angle ADP=\alpha$, $\angle QDC=\beta$, $\angle DAC=\theta$, $\angle BAC=\angle BDC={90}^{\circ }-\alpha$, $\angle BCA=\angle ADB={90}^{\circ }-\beta$, $\angle DBA=\alpha+\beta-\theta=\angle ACD$ olur.

$APD$ üçgeninde $\angle ADP+\angle PAC={90}^{\circ }$ olduğu için $\angle APD={90}^{\circ }-\angle CAD={90}^{\circ }-\theta$ olacaktır.

Benzer şekilde, $DQC$ üçgeninde $\angle DQC={90}^{\circ }-\left(\alpha+\beta-\theta\right)$ olur.

$BC$ ye $Q$ da dik olan doğru $BD$ yi $X$ te, $AB$ yi $Y$ de kessin.

$\angle YQD={90}^{\circ }-\angle DQC=\alpha+\beta-\theta=\angle YBD$ olduğu için $Y,B,Q,D$ noktaları çemberseldir.

Aynı zamanda, $\angle YXD=\angle BXQ={90}^{\circ }-\angle XBQ={90}^{\circ }-\theta$ ve $\angle YXD=\angle APD=\angle YPD={90}^{\circ }-\theta$ olduğu için, $Y,P,X,D$ noktaları da çemberseldir.

Bu durumda $\angle YQB=\angle YDB={90}^{\circ }$ elde edilir. $YPXD$ kirişler dörtgeninde $\angle YDX=\angle YPX={90}^{\circ }$ olacaktır. $\angle XPB+\angle BQX={180}^{\circ }$ olduğu için $BQXP$ dörtgeni kirişler dörtgenidir. Yani $\angle XPQ=\angle XPQ=\theta$ olacaktır.

Daha önce $\angle APD={90}^{\circ }-\theta$ bulmuştuk. Böylelikle $\angle DPX={90}^{\circ }-\left({90}^{\circ }-\theta\right)=\theta$ çıkar. Sonuç olarak $\angle DPQ=2\theta=\angle DOC$ elde ettik. (Dikkat edilirse, $X$ noktası, $DPQ$ üçgeninin iç merkezi oldu.)

[ERhan ERdoğan]

• Tweet

$DP$ ile $DQ$ nun çemberi kestiği noktalar sırasıyla $E$ ve $F$ olsun. $$\angle ADE=\angle ABE=\angle OBC=\alpha   ,  \angle CDF=\angle CBF=\angle OBA=\beta$$
diyelim. $\angle OBE=\angle OBF=\alpha+\beta$  olduğundan $|EB|=|BF|$ dir.
Pascal Teoremine göre ; $AF$ ile $CE$ doğruları $PQ$ üzerindeki bir $R$ noktasında kesişirler. Buradan $\angle EAF=\angle FCE=2\theta$ ve $AB$ ile $CB$ bu açıların açıortaylarıdır.
Kirişler dörtgenlerinden ( örneğin ; $AEBF$ dörtgeni )   $\alpha +\beta +\theta =90^{\circ}$  olduğunu görüyoruz. Buna göre $[CE]\perp [AB]$ ve $[AF]\perp [BC]$ dir.
O halde , $AEPR$ ve $CRQF$ içbükey deltoit olup $|PE|=|PR|$ ve $|QR|=|QF|$ dir. Sonuç olarak, $\angle DPQ=2\angle PER=\angle DOC$  ve $\angle DQP=2\angle QFR=\angle DOA$ dır.