Tübitak Lise Takım Seçme 2004 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$\sin \alpha =3/5$ ve $x=5^{2003}\sin (2004\alpha )$ ise, $ x- \lfloor x \rfloor  $ sayısının alabileceği bütün değerleri bulunuz.

[merdan97]

$\sin\alpha=3/5$ verildiğinden $\cos\alpha=4/5$ veya $\cos\alpha=-4/5$ olur

• $\cos\alpha=4/5$ için çözelim De Moivre formülünden
  $(\cos\alpha+i\sin\alpha)^{2004}= \cos{2004\alpha}+i\sin{2004\alpha}$
  $\dfrac{(4+3i)^{2004}}{5^{2004}}=\cos{2004\alpha}+i\sin{2004\alpha}$
  $\dfrac{(4+3i)^{2004}}{5}=5^{2003}cos{2004\alpha}+5^{2003}i\sin{2004\alpha}$
  Bizden $i$'nin sağ taraftaki katsayısı olan $5^{2003}\sin{2004\alpha}$'nın kesir kısmını istiyor.
  Sol taraftaki $i$'nin katsayısının kesir kısmını bulmamız yeterli.
  $(4+3i)\equiv 4+3i \pmod {5}$
  $(4+3i)^2\equiv 2+4i \pmod {5}$
  $(4+3i)^3\equiv 1+2i \pmod {5}$
  $(4+3i)^4\equiv 3+i \pmod {5}$
  $(4+3i)^5\equiv 4+3i \pmod {5}$
  Buradan $5.$ kuvvetten itibaren kalanlar $4$'lü periyodik olarak ilerler.
  $2004$, $4$'ün katı olduğundan
  $(4+3i)^{2004}\equiv 3+i \pmod {5}$
  $a$ ve $b$ tamsayılar olmak üzere
  $\dfrac{(4+3i)^{2004}}{5}=a+ib+\dfrac{3+i}{5}$
  $i$'nin katsayısının kesir kısmı $1/5$ olur ki bu da bizden istenendi.
  
• $\cos\alpha=-4/5$ ise benzer şekilde
  $\dfrac{(-4+3i)^{2004}}{5}=5^{2003} \cos{2004\alpha}+5^{2003}i\sin{2004\alpha}$
  sol taraftaki $i$'nin katsayısını bulalım.
  $(-4+3i)\equiv 1+3i \pmod {5}$
  $(-4+3i)^2\equiv 2+i \pmod {5}$
  $(-4+3i)^3\equiv 4+2i \pmod {5}$
  $(-4+3i)^4\equiv 3+4i \pmod {5}$
  $(-4+3i)^5\equiv 1+3i \pmod {5}$
  Burdan yine $5.$ kuvvetten itibaren kalanlar $4$'lü periyodik olarak ilerler.
  $2004$, $4$'ün katı olduğundan
  $(-4+3i)^{2004}\equiv 3+4i \pmod {5}$
  $c$ ve $d$ tamsayılar olmak üzere
  $\dfrac{(-4+3i)^{2004}}{5}=c+id+\dfrac{3+4i}5$
  $i$'nin katsayının kesir kısmı $4/5$ olur ki bu da bizden istenendi.
  

Demek ki $5^{2003}\sin{2004\alpha}$'nın kesir kısmını alabileceği değerler $1/5$ ve $4/5$ dir