$n^2+an+b$ formatındaki polinomu düzenleyelim.
$a$ çiftse ($a=2k$ ise) $$n^2+an+b=n^2+2kn+k^2+(b-k^2)=(n+k)^2+(b-k^2)$$ $a$ tekse ($a=2k+1$ ise) $$n^2+an+b=n^2+(2k+1)n+b=n^2+2kn+k^2+n+k+(b-k^2-k)=(n+k)^2+(n+k)+(b-k^2-k)$$ olacaktır. Herhangi bir $P$ polinomu ve sabit $k$ tamsayısı için $P(x+k)=Q(x)$ şeklinde bir $Q$ polinom tanımlarsak $P(\mathbb{Z})=Q(\mathbb{Z})$ olacağından her $a,b\in\mathbb{Z}$ için $a$'nın tekliği ve çiftliğine göre $$S_{a,b}=S_{0,b_1}\quad \text{veya}\quad S_{a,b}=S_{1,b_2}$$ olacak şekilde $b_1$ veya $b_2$ vardır. Bu yüzden sadece $a=0$ ve $a=1$ durumlarını ele almamız yeterlidir.
Eğer $S_{0,u}$ ve $S_{0,v}$ şeklinde iki tane küme alırsak, $$n^2+u=m^2+v\implies m^2-n^2=(m-n)(m+n)=u-v$$ şeklinde $m$ ve $n$ tamsayısı olmaması gerekir. Bunun sağlanması için $u-v\equiv 2\pmod{4}$ olması gerekir. $3.$ bir $S_{0,w}$ kümesi alamayız çünkü $u,v,w$'nin herhangi ikisinin farkı aynı anda $2\pmod{4}$ olamaz. Dolayısıyla en fazla $2$ tane $S_{0,b}$ formatında küme alabiliriz.
Eğer $S_{1,u}$ ve $S_{1,v}$ şeklinde iki tane küme alırsak, $$n^2+n+u=m^2+m+v\implies (m-n)(m+n-1)=u-v$$ şeklinde $m$ ve $n$ olmaması gerekir. $u-v$ çift olursa, uygun $m$ ve $n$ bulacağımızdan dolayı $u-v$ tek sayı olmalıdır. Dolayısıyla $3.$ bir $S_{1,w}$ formatında küme ekleyemeyiz çünkü $u,v,w$'nin hepsi farklı paritede olması gerekirdi.
Eğer $S_{0,u}$ ve $S_{1,v}$ şeklinde iki kümeyi birlikte alırsak, $$n^2+u=m^2+m+v\implies (2m+1)^2-(2n)^2=(2m+2n+1)(2m-2n+1)=4u-4v+1$$ denkleminin çözümü olmamalıdır. Ancak $m=n=u-v$ alırsak eşitlik sağlandığından bu kümeler ayrık değildir. Yani $S_{0,u}$ ve $S_{1,v}$ formatındaki iki küme aynı anda alınmamalıdır.
Sonuç olarak en fazla iki tane $S_{0,u}$ veya iki tane $S_{1,u}$ formatında küme alabiliriz. En fazla $\boxed{2}$ ayrık küme seçebiliriz. Örnek olarak $S_{1,0}$ ve $S_{1,1}$ kümelerini alabiliriz. Bir tanesi sadece çift sayılardan, diğeri sadece tek sayılardan oluşuyor.
