Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 1996 Soru 2  (Okunma sayısı 3339 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3476
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 1996 Soru 2
« : Ağustos 08, 2013, 06:04:46 ös »
Bir $ABCD$ paralelkenarında $\widehat{A}$ açısı dar açı olup, $[AC]$ köşegeni çap alınarak çizilen çember $CB$ ve $CD$ doğrularını $E$ ve $F$ noktalarında kesmektedir. Bu çemberin $A$ noktasındaki teğeti, $BD$ doğrusunu $P$ noktasında kesiyorsa; $P,F,E$ noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlayınız.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:39:09 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2021
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1996 Soru 2
« Yanıtla #1 : Eylül 07, 2013, 06:00:51 ös »
$BD$ ile $AC$ nin kesişimi $O$ olsun. $BC$ ye paralel olan ve $P$ den geçen doğru $AC$ yi $Q$ da kessin. $CD$ ye paralel olan ve $O$ dan geçen doğru $PQ$ yu $M$ de kessin.
$MO$ doğrusu $BCO$ üçgeninde kenarortay, $PQ\parallel BC$ olduğu için de $PQO$ üçgeninde de kenarortay olacaktır. $MO$ ile $AF$, $R$ de kesişsin. $MR\parallel CD$ ve  $AO=OC$ olduğu için $AR=RF$ ve $MR\bot AF$ dir. Bu durumda $MR$, $AF$ nin orta dikmesidir. Dolayısıyla $MA=MF$ dir. $\angle PAQ={90}^{\circ }$ olduğu için $PM=MQ=MA=MF$ yani $M$ nin $P,Q,F,A$ dan geçen çemberin merkezi olduğu sonucu çıkar. Paralel doğrulardan dolayı $\angle CAD=\angle BCA=\angle PQA$, $ECFA$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle EFA=\angle BCA$, $PQFA$ kirişler dörtgeni olduğu için de $\angle PFA=\angle PQA$ olur. Son durumda $\angle EFA=\angle PFA$ olduğu için $P,F,E$ noktaları doğrusal olur.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:39:04 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1996 Soru 2
« Yanıtla #2 : Eylül 13, 2013, 09:55:38 ös »

$PB$ doğrusuna $[AK]$ dikmesini inelim. $\angle{AEC}=m\angle{AFC}=90^{\circ}$ olduğundan $AEBK$ ve $AEDK$ dörtgenleri birer kirişler dörtgenidir.
Buna göre; $\angle{AKE}=\angle{ABE}=\angle{ADE}=\angle{AKF}$ dir.
Bu aşamadan sonra şekil-II deki probleme çözüm arayacağız.


Problem : $[PA , O$ merkezli çemberin teğeti ve $[AT]$ bir kirişi olmak üzere, $[OP]\perp[AT]$ ve $|AK|=|KT|$ dir.
Çember üzerinde alınan $E$ ve $F$ noktaları için, $\angle{AKE}=\angle{AKF}$ ise, $P-F-E$ noktaları doğrusaldır.


$OKE$ ve $OKS$ üçgenlerinin eşliğinden $\angle{EON}=\angle{SON}$ olur ve $\angle{EFS}=\angle{EON}$ dir. Buna göre $EOKF$ bir kirişler dörtgenidir.


$O$ dan $[EF]$ ye çizilen dikme ile $KA$ nın kesim noktası $R$ olsun. $|RE|=|RF|$ dir. $KR$ ve $OR$ açıortay olduğundan $OERF$ bir kirişler dörtgenidir. $\angle{REF}=\angle{RFE}=\angle{ROE}=\angle{ROF}$ olduğundan $RE$ ve $RF$ çembere teğettir.
Buna göre, $EF$ doğrusu $R$ nin kutup doğrusudur. $R$ noktası $P$ nin $AK$ kutup doğrusu üzerinde olduğundan, $P$ noktasıda $R$ nin $EF$ kutup doğrusu üzerinde olmalıdır.
« Son Düzenleme: Temmuz 24, 2016, 07:38:35 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal