Tübitak Lise Takım Seçme 1992 Soru 5

[Lokman Gökçe]

$1$ den $n$ ye kadar numaralanmış $n$ kutudan $1$ numaralı olanın kapağı açık; diğerlerinin kapakları kapalı bulunmaktadır. Birbirinin eşi $m$ toptan $(m\ge n)$ bir tanesi bu açık kutuya koyulunca $2$ numaralı kutunun kapağı açılıyor. Şimdi açık bulunan iki kutudan rastgele birine top koyulunca üçüncü kutu açılıyor. Bu şekilde devam edilerek son kutu da açıldıktan sonra geriye kalan top(lar) kutulara rastgele dağıtılıyor. Bu şartlar altında topların kutulara dağıtımı kaç farklı şekilde yapılabilir?

[Lokman Gökçe]

Çözüm: Önce $n$ kutuya $n$ tane topu istenen şarta uygun olarak dağıtalım. Çünkü $n$ inci top da uygun bir kutuya koyulduktan sonra tüm kutular açılmış olaraktır.

$n$ topu dağıtırken herhangi bir anda açık olan kutu sayısı, kutulara dağıtılmış olan top sayısından daha az olmamalıdır. Bu ise bizi $n$ inci Catalan sayısına götürür ve $C_n=\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ yolla bu işlem yapılabilir.

Şimdi geriye kalan $m-n$ özdeş topu $n$ kutuya dağıtalım. Dağılım prensibi gereğince bu işlem $\binom{m-1}{n-1}$ yolla yapılabilir.

Çarpma prensibinden $\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\binom{m-1}{n-1}$ elde ederiz. (L. Gökçe)