Analiz Cebir Eşitsizlikler Çalışma Kağıdı
$17.02.2016$
$\textit{Problem 1}$
$a+b+c=1$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$${{a-bc}\over{a+bc}} + {{b-ca}\over{b+ca}} + {{c-ab}\over{c+ab}}
\leq {3 \over 2}$$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 3}$
$abc=1$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{a^5+c^5+ca}\leq1$$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 4}$
$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2+2abc \le 1$ koşulunu sağlıyorsa;
$$K \left(\dfrac{1}{abc}-\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{c}-\dfrac{c}{a} \right) > 2(a+b+c) \left(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}+2(ab+bc+ca) \right)$$
olmasını sağlayan en küçük $K$ tamsayı sabitini belirleyiniz.
$\textit{Problem 5}$
$a+b+c=3$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{2-\sqrt{a}}{\sqrt{c+3a}}+\dfrac{2-\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\dfrac{2-\sqrt{c}}{\sqrt{b+3c}} \ge \frac{3}{2}$$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 6}$
$a,b,c $ pozitif gerçel sayıları için $a^2+b^2+c^2+abc \le 4$ koşulu sağlanıyorsa;
$$\dfrac {1}{\sqrt {a}}+\dfrac {1}{\sqrt {b}}+\dfrac {1}{\sqrt {c}} \ge a+b+c $$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 7}$
$xy+yz+zx \ge 3$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{x}{(z+1)^2} \sqrt{ \left(\dfrac{x}{y}+z \right)(y+zx)} \text{ + }\dfrac{y}{(x+1)^2} \sqrt{ \left(\dfrac{y}{z}+x \right)(z+xy)} \text{ + }\dfrac{z}{(y+1)^2} \sqrt{ \left(\dfrac{z}{x}+y \right)(x+yz)} \ge \dfrac{3}{2}$$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 8}$
$a^3+b^3+c^3=a+b+c$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{a}{a^2+b^2+c^3}+\dfrac{b}{b^2+c^2+a^3}+\dfrac{c}{c^2+a^2+b^3} \ge abc$$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 9}$
$x+y+z \le 3$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{x^3}{x^3+3x-1}+\dfrac{y^3}{y^3+3y-1}+\dfrac{z^3}{z^3+3z-1} \le 1$$
olduğunu gösteriniz.