(Lokman GÖKÇE)
Tümevarım yöntemini kullanarak bu probleme basit bir çözüm vereceğiz:
Öncelikle $n=2$ için $\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_2}{b_2}$ iken $\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_1 + a_2}{b_1+b_2}< \dfrac{a_2}{b_2}$ olduğunu gösterelim. $\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_2}{b_2}$ eşitsizliği $a_1b_2<a_2b_1$ eşitsizliğine denktir.
$$\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_1 + a_2}{b_1+b_2} \Longleftrightarrow a_1b_1 + a_1b_2 < a_1b_1 + a_2b_1
\Longleftrightarrow a_1b_2<a_2b_1$$
olduğundan eşitsizliğin sol kısmı doğrudur.
$$\dfrac{a_1 + a_2}{b_1+b_2}< \dfrac{a_2}{b_2} \Longleftrightarrow a_2b_2 + a_1b_2 < a_2b_2 + a_2b_1
\Longleftrightarrow a_1b_2<a_2b_1$$
olduğundan eşitsizliğin sağ kısmı da doğrudur. Dolayısıyla $n=2$ için iddia doğrudur.
Şimdi belli bir $n=k$ pozitif tamsayısı için iddianın doğru olduğunu kabul edelim. Yani
$a_i$, $b_i$ sayıları pozitif ve $\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_2}{b_2}<\dots < \dfrac{a_k}{b_k}$ iken
$$\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_1 + a_2+\dots + a_k}{b_1+b_2+\dots +b_k} < \dfrac{a_k}{b_k} \tag {1}$$
eşitsizliklerinin sağlandığını kabul edelim. $n=k+1$ için iddiamızı ispatlayalım. Yani $\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_2}{b_2}<\dots < \dfrac{a_{k+1}}{b_{k+1}}$ iken $\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_1 + a_2+\dots + a_{k+1}}{b_1+b_2+\dots +b_{k+1}} < \dfrac{a_{k+1}}{b_{k+1}}$ olduğunu ispat edeceğiz. Bunun için $(1)$ deki kabulümüzden dolayı
$$\dfrac{a_2}{b_2}<\dfrac{a_2 + a_3+\dots + a_{k+1}}{b_2+b_3+\dots +b_{k+1}} < \dfrac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \tag {2}$$ eşitsizliği de doğrudur. $a=a_2+a_3+\dots + a_{k+1}$, $b=b_2+b_3+\dots + b_{k+1}$ diyelim.
$n=2$ durumundaki eşitsizlikten dolayı $$\dfrac{a_1}{b_1}< \dfrac{a_1+a}{b_1+b} = \dfrac{a_1 + a_2+\dots + a_{k+1}}{b_1+b_2+\dots +b_{k+1}} < \dfrac{a}{b} = \dfrac{a_2 + a_3+\dots + a_{k+1}}{b_2+b_3+\dots +b_{k+1}} < \dfrac{a_{k+1}}{b_{k+1}} $$ olup iddiamız $n=k+1$ için de doğrudur. Dolayısıyla tümevarım prensibi gereği her $n \geq 2$ tamsayısı için eşitsizlik doğrudur.
