Kanada 1983/1 {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Kanada 1983/Pr 1: $w! = x! + y! + z!$ eşitliğini sağlayan tüm $x,y,z,w$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Simetriden dolayı $x\leq y \leq z$ kabul edebiliriz. Ayrıca $w>z$ olmalıdır. Bu halde $w\geq z + 1$ yazılabilir. $x! + y! + z! = w!$ denkleminden
$$ 3\cdot z! \geq w! \geq (z+1)!$$
olup $3 \geq z + 1 \implies z \leq 2$ elde edilir. $z=1$ için $x=y=1$ olup $1! + 1! + 1! = w!$ denkleminin çözümü yoktur. $z=2$ için tek uygun durum $x=y=2$ olup $2! + 2! + 2! = w!$ denkleminden $w=3$ bulunur. Böylece, verilen denklemi sağlayan tek pozitif tam sayı dörtlüsü $(x,y,z,w) = (2,2,2,3)$  elde edilir.