Balkan Matematik Olimpiyatı 1991 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin küçük $AB$ yayı üzerinde bir $M$ noktası alınıyor. $M$'den $OA$'ya çizilen dikme$,\ AB$ ve $AC$'yi sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. $M$'den $OB$'ye çizilen dikme$,\ AB$ ve $BC$'yi sırasıyla $N$ ve $P$ noktalarında kesiyor. $|KL|=|MN|$ olduğuna göre$,\ MLP$ açısını $ABC$ üçgeninin açıları cinsinden bulunuz.

(Yunanistan)

[geo]

Cevap: $\angle MLP = \angle ACB$.

$\angle ABO = \angle BAO = 90^\circ - \angle ACB \Longrightarrow \angle PNB = \angle AKL = \angle ACB$. Bu durumda $$\triangle ABC \sim \triangle PBN \sim \triangle ALK \tag {1}$$ $\angle ACB = \angle MBA + \angle MAB = \angle AMK + \angle MAK = \angle MBN + \angle BMN$. Bu durumda $$\triangle MAK \sim \triangle BMN \tag{2}$$ $(1)$ den $\dfrac{BN}{LK} = \dfrac {PN}{AK}$, $(2)$ den $\dfrac {MK}{BN} = \dfrac {AK}{MN}$. Taraf tarafa çarparsak $PN = MK$ elde ederiz.

$\triangle MNK$ ikizkenar olduğu için $PN = MN = MK= KL \Longrightarrow MP = ML$ elde edilir. Bu da $\angle MPL = \angle MLP = \angle ACB$ demektir.