Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 21

[matematikolimpiyati]

$\quad$

Şekilde $|BC|=2,\ |AC|=1$  ve $m(\widehat{ACD})=90^{\circ}$  dir. $[AC]$  çaplı çemberin $[AB]$  kenarını kestiği $E$  noktasından çembere çizilen teğet $BC$'yi $D$'de kestiğine göre, $\tan{(\widehat{EDC})}$  aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -2  \qquad\textbf{b)}\ -\dfrac43  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac43  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$[AC]$ çap olduğundan Thales teoremi gereğince $m(\widehat{AEC}) = 90^\circ $ dir. Ayrıca, eşit uzunluklu teğet parçalarından $|DE|=|DC|$ dir. $BCE$ dik üçgeninde Thales teoreminden dolayı, $ |DE|=|DC|=|DB|$ dir. Böylece $BDE$ ikizkenar üçgen olup $m(\widehat{EDC}) = 2\cdot m(\widehat{ABC}) $ olur. $m(\widehat{ABC}) = \alpha$ dersek $\tan\alpha = \dfrac{|AC|}{|BC|} = \dfrac{1}{2}$ dir.
$$ \tan(\widehat{EDC}) = \tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} = \dfrac{2\cdot \dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{4}{3}$$

elde edilir.