Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 25

[alpercay]

Bir çember etrafına, her sayı bitişiğindeki iki sayının çarpımına eşit olacak şekilde en fazla kaç farklı sayı yazılabilir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 243
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Sayılardan biri $0$ olursa, bu durumda çember etrafındaki diğer tüm sayılar $0$ olacaktır. Yalnız bir farklı sayı yazmış oluruz. Bu yüzden çember etrafındaki sayıların $0$ dan farklı olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda, çember etrafındaki sayılar sırasıyla $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ olsun. $x_1 \cdot x_3 = x_2$ ve $ x_2 \cdot x_4 = x_3$ olur. Bu eşitlikleri taraf tarafa çarparsak $x_1 \cdot x_4 = 1$ olup $x_4 = \dfrac{1}{x_1}$ elde edilir. Benzer şekilde $x_5 = \dfrac{1}{x_2}$, $x_6 = \dfrac{1}{x_3}$, $x_7 = \dfrac{1}{x_4} = x_1$, $x_8=x_2$ olup en fazla $6$ farklı sayı yazabileceğimizi anlıyoruz. Bunun için bir örnek verelim: Çember etrafına sırasıyla $2, 3, \dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}$ yazabiliriz.