Yanıt: Hiçbiri
Bu soru
bu bağlantıda tartışıldı. Lokman Gökçe'nin çözümü aşağıda:
$S = \dfrac{\log_ab}{a-b+1} + \dfrac{\log_bc}{b-c+2} + \dfrac{\log_ca}{c-a+3}$ dersek $S>\dfrac{3}{2}$ olduğunu gösterebiliriz. Şimdi bu $\dfrac{3}{2}$ değerine nasıl ulaştığımızı açıklayalım:
$S$ toplamını oluşturan üç terim de pozitif olduğundan aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini uygulayabiliriz ve $\log_ab \cdot \log_bc \cdot \log_ca = 1$ olduğundan
$$ S\geq 3 \left( \dfrac{\log_ab \cdot \log_bc \cdot \log_ca}{(a-b+1)(b-c+2)(c-a+3)} \right)^{\frac{1}{3}} = 3 \left( \dfrac{1}{(a-b+1)(b-c+2)(c-a+3)} \right)^{\frac{1}{3}} \tag{1}$$
elde edilir. Ayrıca $$ \left( (a-b+1)(b-c+2)(c-a+3)\right)^{\frac{1}{3}} \leq \dfrac{(a-b+1) + (b-c+2) + (c-a+3)}{3} = 2 \tag{2}$$
olup $(1)$ ve $(2)$ eşitsizliklerinden $S\geq \dfrac{3}{2}$ elde edilir. Eşitlik durumunun sağlanması için $(a-b+1) = (b-c+2) = (c-a+3)$ olması gereklidir. (Gereklidir ama bu bile yeterli değildir, çünkü logaritmalı kesirlere de ortalama eşitsizliği uygulanmıştı.) Ancak bu durum $a=1, b=c=0$ iken gerçekleşir. Bu ise $a,b,c$ sayılarının $(0,1)$ açık aralığında olması ile çelişir. Yani eşitlik durumu mümkün değildir ve $S>\dfrac{3}{2}$ bulunur. Dolayısıyla $(a), (b), (c)$ seçenekleri elenir.
Diğer taraftan $a=b=c$ iken $S=\dfrac{11}{6}$ olup $(d), (e)$ seçenekleri elenir.
Not: Yanıt olarak $c)$ $\dfrac{3}{2}$ verilmiş. Sınav eski tarihli olduğu için orijinal soru kağıdı elimize ya da resmi sitede yoktur. Soruyu kitaba aktarma aşamasında bir yazım hatası yapılmış olması da mümkündür.
