Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2002 Soru 02

[matematikolimpiyati]

Görünüşleri aynı olan $101$ bilyeden $100$ tanesinin ağırlığı aynı olup, birinin ağırlığı diğerlerinden farklıdır. İki kefeli bir teraziyle, ağırlığı farklı olan bilyenin diğerlerinden daha mı hafif, yoksa daha mı ağır olduğunu, en az kaç tartıda bulabiliriz?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Bilyelerden birini ayıralım. Kalan bilyeleri $50$'şerli iki gruba ayırıp tartarız.

1. durum: Eğer eşitlik varsa, ayırdığımız bilye farklı olandır. Bu farklı olan bilyeyi, eşit ağırlıklı bilyelerden herhangi biriyle tartarak karşılaştırırız. Farklı olanın ağır mı, hafif mi olduğuna karar verebiliriz.

2. durum: Eğer eşitlik yoksa, ağır olan $50$'li grubu göz önüne alalım. Bunları da $25$'erli iki gruba ayırıp tartarız.
$\bullet $ Eğer eşitlik varsa, farklı olan bilye diğer $50$'li grup içindedir. Onun hafif bir bilye olduğunu anlarız.
$\bullet $ Eğer eşitlik yoksa, farklı olan bilyenin ağır olduğunu ve ağır gelen $25$'li grup içinde olduğunu anlarız.

Böylece her durumda, $2$ tartıda farklı bilyenin ağır mı, hafif mi olduğuna karar verebiliriz.

[Eray]

Elinize sağlık Lokman hocam.

İlave soru: Acaba tek tartım ile bulamayacağımızı ispatlayabilir miyiz?

[Lokman Gökçe]

Terazinin kefelerine eşit sayıda bilye koymamız gerektiği açıktır. Aksi halde, fazla bilye olan kefenin ağır geldiği durumdan hiçbir bilgi elde edemeyiz. Tartı boşa gitmiş olur. Yukarıdaki birinci durumda bilyelerden birini ayırıp diğerlerini $50$'şerli iki grup olarak karşılaştırdığımız senaryoda eşitlik halinde halen seçtiğimiz bilyenin durumunu bilemiyoruz. Tek tartı yetmemektedir. O halde $3$ bilyeyi ayırıp kalanları $49$'lu iki grup olarak karşılaştırabiliriz. Bu halde de eşitlik çıkarsa ayırdığımız $3$ bilyeden birinin farklı olduğu bilgisine sahibiz ama farklılığın ağırlık/hafiflik durumunu bilemeyiz. Tek tartı yetmez. Bu fikirle, başlangıçta $2n-1$ ($1\leq n \leq 50$) tane bilye ayırarak kalanları karşılaştırma yöntemi tek tartıda sonuç vermez. Ayrıca bunlardan en verimlisinin de $n=1$ durumunda $1$ bilye ayırarak elde edildiğini söyleriz. Çünkü tartı sonucunda eşitlik çıkarsa, farklı olan bilyenin $2n-1$ taneden biri olduğu bilgisini alabiliyoruz. Ama $n=1$ deki gibi, hangisinin farklı olduğunu bilsek daha iyi olurdu.