Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2002 Soru 01

[matematikolimpiyati]

• Tweet

Bir ikizkenar $ABC$ üçgeninde$,\ [BC]$ tabanının orta noktasını $H;\ [BH]$ üzerinde alınan bir noktayı da $P$ ile gösterelim. $P$ den $[BC]$ ye çizilen dik$,\ AB$ yi $M;\ AC$ yi de $N$ noktasında kesiyor. $|PM|+|PN|=2|AH|$ ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ |BP|=|PH|$ olmalıdır.
$\textbf{b)}\ |BP|=2|PH|$ olmalıdır.
$\textbf{c)}\ |PH|=2|BP|$ olmalıdır.
$\textbf{d)}\ $Böyle bir $P$ noktası yoktur.
$\textbf{e)}\ $ Hiçbiri

[Lokman Gökçe]

• Tweet

Yanıt: $\boxed{E}$

$ABC$ ikizkenar üçgen ve $[BC]$ taban olarak verildiğinden, $m(\widehat {B}) = m(\widehat{C})$ olduğunu anlıyoruz. Bu durumda, dik üçgenlerden $m(\widehat {CNP}) = m(\widehat{BMP})=m(\widehat{NMA})$ olup $|AN|=|AM|$ elde edilir. $ANM$ ikizkenar üçgeninde $[AD]$ yüksekliğini çizelim. $|ND|=|DM|=x$ olur. $|PM|=y$ diyelim. Böylece $|PM| + |PN| = y + (2x + y) = 2(x+y) = 2|AH|$ olur. Yani, $$|PM| + |PN| = 2|AH|$$
eşitliğinin sağlanması için başka bir koşula ihtiyaç yoktur.