Öncelikle $n=0$ için çözüm var mı deneyelim, $p^3-4p^2+3p+4=0$ denkleminde $p|p^3-4p^2+3p+4$ olacağından $p|4$ olmalıdır. $p$ asal sayı olduğundan $p=2$ olmalıdır fakat denklemi sağlamaz. Şimdi de $n\neq 0$ durumuna bakalım.
$(p,n)$ ikilisi bir çözüm ise $(p,-n)$ de çözümdür. Dolayısıyla $n>0$ durumunu incelememiz yeterlidir. $$p^3-4p^2+3p+4=n^2\Rightarrow p\mid n^2-4$$ bulunur. Buradan $p\mid n-2$ veya $p\mid n+2$ bulunur.
i) $p\mid n-2$ ise $n=pk+2$ formatında bulunur. $n$'nin pozitif olduğunu kabul ettiğimiz için $k\geq 0$ olmalıdır. $k=0$ için $n=2$ bulunur. $$p^3-4p^2+3p+4=4\Rightarrow p(p-3)(p-1)=0\Rightarrow p=3$$ bulunur. $k>0$ ise $$p^3-4p^2+3p+4=(pk+2)^2\Rightarrow 4k-3=p(p-4-k^2)\geq 4\cdot 1-3>0\Rightarrow p>k^2+4$$ bulunur. Ayrıca $p\mid 4k-3$ olduğundan ve $4k-3>0$ olduğundan $4k-3\geq p$ elde edilir. $$\longrightarrow 4k-3>k^2+4\Rightarrow k^2-4k+7<0$$ bulunur fakat çözüm yoktur.
ii) $p\mid n+2$ ise $n=pk-2$ formatında bulunur. $n$ pozitif olduğundan $k\geq 1$ bulunur. $$p^3-4p^2+3p+4=(pk-2)^2\Rightarrow 4k+3=p(k^2-p+4)$$ elde edilir. $p\mid 4k+3$ olacağından $4k+3\geq p$ olmalıdır. $$\Rightarrow k\geq \dfrac{p-3}{4}\Rightarrow n=pk-2\geq \dfrac{p^2-3p-8}{4}$$ elde edilir.
iia) $p^2-3p-8<0$ ise $$\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}<p<\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\Rightarrow p<5$$ elde edilir. $p=2$ ve $p=3$ durumlarını zaten incelemiştik.
iib) $p^2-3p-8\geq 0$ ise $n^2\geq \left (\dfrac{p^2-3p-8}{4} \right )^2$ olur. $$16(p^3-4p^2+3p+4)\geq p^4-6p^3-7p^2+48p+64 \Rightarrow 0\geq p^2(p-3)(p-19)$$ elde edilir. Buradan $p\leq 19$ elde edilir. Deneme ile $p=19$ için $n=74$ bulunur.
Buradan $p=3$ ve $p=19$ bulunur. Yerine yazarsak $(p,n)=(3,2),(3,-2),(19,74),(19,-74)$ bulunur.
