$ \begin{array}{lll} a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 3 - (1+a)(1+b)(1+c) &=& a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 3 - (1 + a + b + ab)(1+c) \\
&=& a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 3 - 1 - ab - ac - bc - a - b -c - abc \\
&=& a^2 + b^2 + c^2 + abc + 2 - ab - ac - bc - a - b -c \\
&\geq 0
\end{array}$
olduğunu göstermemiz isteniyor.
Buradan $$a^2+b^2 + c^2 + 2abc + 1 - 2(ab+ac+bc) \geq 0 \tag{1}$$ elde edilir.
$$a^2 + b^2 + c^2 - 2(a+b+c) + 3 = (a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 \geq 0 \tag {2}$$
$(1)$ ve $(2)$ yi taraf tarafa toplarsak $$2(a^2+ b^2 + c^2) + 2abc + 4 - 2(ab+ac+bc + a + b + c) = 2\left (a^2 + b^2 + c^2+ abc + 2 - (ab + ac + bc + a+ b + c) \right ) \geq 0$$
Eşitlik durumu $a=b=c=1$ iken sağlanır.
Not:Bu soru Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ve Marian Tetiva'ya ait olup
Andreescu, T., Cîrtoaje, V., Dospinescu, G., & Lascu, M. (2004). Old and New Inequalities. kitabında 74. soru olarak sorulmuştur. Kitapta 2 ayrı çözüm daha yer almaktadır.
