Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 10

[ERhan ERdoğan]

Her $i\in \left \{ 1,2,\dots ,22 \right \}$ için $a_{i} , a_{i+1}$ i tam bölecek ve $a_{23}$ de $2015$ i tam bölecek biçimde kaç farklı $(a_{1},a_{2}, \dots , a_{23})$ pozitif tam sayı $23$-lüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 23^3
\qquad\textbf{b)}\ 23^4
\qquad\textbf{c)}\ 24^3
\qquad\textbf{d)}\ 24^4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{C}$

$b_1 \ , \ b_2 \ \ldots \ , \ b_{23}$  terimlerini tanımlayalım. Öyle ki  $a_2=a_1 \cdot b_1$  olsun. Aynı şekilde  $a_3=a_2 \cdot b_2$  olsun. Yani  $a_{n+1}=a_n \cdot b_n$  olsun. Ve   $2015=a_{23} \cdot b_{23}$  olsun.  Son ifadede yerine yazarsak  $2015=a_{22} \cdot b_{22} \cdot b_{23}$  olur.  Böyle gidersek  $2015=a_1 \cdot b_1 \cdot b_2 \cdots b_{23}$   olur. Burada $24$  tane terim var.  $2015=5\cdot 13\cdot 31$  olduğundan dolayı  $3$  tane çarpanı $24$ terime dağıtacağız. Geri kalan terimler $1$ olacak.  Bu dağıtım $24^3$  şeklinde olur.