Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 01

[mehmetutku]

Bir $ABCD$ dikdörtgeninin iç bölgesinde $EF \parallel AC$ olacak şekilde $E$ ve $F$ noktaları veriliyor. $E$ ve $F$ nin $AB$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı $3$, $BC$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı $4$, $CD$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı $5$ olduğuna göre, $AD$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt : $\boxed{B}$

$[EF]$ nin problemde bahsi geçen izdüşümlerinin $ABCD$ dikdörtgeninin kenarları üzerindeki uzunlukları verilen sırada $x,y,z,t$ olsun. $[EF] \parallel [AC]$ olduğundan kenarları $x,y,z,t$ olan dikdörtgen ile $ABCD$ dikdörtgeni benzer dikdörtgenlerdir. Bu benzerliğe göre, $\dfrac{|AB|}{|BC|}=\dfrac{x}{y} \Rightarrow |AB|\cdot y = |BC| \cdot x $ olur. Bu sonuca göre, problemde istenen yamuğun alanına $S$ dersek  $S+4=3+5 \Rightarrow S=4$ bulunur.