Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1974 Soru 4

[ERhan ERdoğan]

• Tweet

$8\times 8$ bir satranç tahtasının $p$ adet kesişmeyen dikdörtgene aşağıdaki koşullarda bölündüğü durumları ele alalım:

• Her dikdörtgen, siyah kareler kadar beyaz kare içeriyor.
• $i.$ dikdörtgendeki beyaz karelerin sayısı $a_i$ ise, $a_1 < a_2 < \dots < a_p$.

Bu şekilde bir parçalanmayı mümkün kılan en büyük $p$ sayısını bulunuz. Bu $p$ değeri için, mümkün olan tüm $a_1, a_2, \dots, a_p$ dizilerini belirleyiniz.

[Lokman Gökçe]

• Tweet

Tahtada $32$ beyaz kare olduğundan
$$ a_1 + a_2 + \cdots + a_p = 32 $$
olur. $a_1\geq 1, a_2 \geq 2, \dots, a_p \geq p$ olduğundan
$$ 32\geq 1 + 2 + \cdots + p = \dfrac{1}{2}p(p+1) $$
eşitsizliğini yazabiliriz. Buradan $p^2 + p \leq 64$ ve böylece $p\leq 7$ buluruz. Buna göre, istenilen türde bir ayrışımda en çok $7$ dikdörtgen olabildiğini anlarız.

$7$ dikdörtgene ayrılma varlığını göstermek ve bunların hepsini bulmak için toplamı $32$ eden $7$ farklı tam sayı aramalıyız. Bunların tam bir listesi

\begin{equation*}
\begin{split}
 1+2+3+4+5+6+11 & = 32 \\
 1+2+3+4+5+7+10 & = 32 \\
 1+2+3+4+5+8+9 & = 32 \\
 1+2+3+4+6+7+9 & = 32 \\
 1+2+3+5+6+7+8 & = 32
\end{split}
\end{equation*}

dir. Şimdi $11$ siyah kare ve $11$ beyaz kare ile toplam $2\cdot 11 = 22$ birim kareden oluşan bir dikdörtgen, $8\times 8$ türündeki bir tahtadan kesilip çıkarılamadığı için ilk toplam olanaksızdır. Diğer hallerin olanaklı olduğunu olduğunu gösteren çizimleri vererek çözümü tamamlarız.

Kaynak: Samuel L. Greitzer'in IMO 1959-1977 kitabının Tübitak Yayınları tarafından yapılan çevirisinden alınmıştır.