Cevap: $\boxed{C}$
$3$ asalı için $$3^{3n+1}+5^{3n+2}+7^{3n+3}\equiv (-1)^{3n+2}+1\pmod{3}$$ olduğundan eğer $n$ çiftse $2$ kalanı verecektir. $3$ istenileni sağlamaz.
$5$ asalı için $3^{3n+1}+5^{3n+2}+7^{3n+3}\equiv (-2)^{3n+1}+2^{3n+3}\pmod{5}$ olacaktır. Ancak $n=2$ için bu ifade $0$ kalanı vermeyecektir. İstenilen sağlanmaz.
$11$ asalı için $n=10$ yazarsak küçük Fermat teoreminden $$3^{31}+5^{32}+7^{33}\equiv 3+5^{2}+7^{3}\equiv 371\equiv 8\pmod{11}$$ olacağından istenilen sağlanmaz.
$53$ asalı için $n=1$ yazarsak $$3^4+5^5+7^6\equiv 81+3125+(343)^2\equiv 26+25^2\equiv 651\equiv 15\pmod{53}$$ olacağından istenilen sağlanmaz.
$7$ asalı için $$3^{3n+1}+5^{3n+2}+7^{3n+3}\equiv 3\cdot 27^n+25\cdot 125^n\equiv 3\cdot (-1)^n+25\cdot (-1)^n\equiv 28\equiv (-1)^n\equiv 0\pmod{7}$$ bulunur. Dolayısıyla verilen ifade her $n$ için $7$ ile bölünebilir.
Not: $n=1$ ve $n=2$ yazarak sadece $7$'nin ortak bölen olduğu görülebilir ama biraz işlemlerle uğraşmak gerekecektir.
