Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 28

[geo]

$x$, $y$ gerçel sayıları $4x^2+9y^2 = 8$ eşitliğini sağlıyorsa, $8x^2+9xy+18y^2+ 2x + 3y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 23
\qquad\textbf{b)}\ 26
\qquad\textbf{c)}\ 29
\qquad\textbf{d)}\ 31
\qquad\textbf{e)}\ 35
$

[Eray]

$8x^2 + 9xy + 18y^2 + 2x + 3y = 16 + 2x + 3y + 9xy$

O halde $2x + 3y + 9xy$ ifadesinin en büyük değerini bulmalıyız.

Cauchy - Schwarz Eşitsizliği:

$(4x^2+9y^2)(1+1)\ge(2x + 3y)^2 \Longrightarrow 4\ge2x + 3y$

Öte yandan,
$(2x - 3y)^2\ge0 \Longrightarrow 8 \ge 12xy \Longrightarrow 6\ge9xy$

O halde,
$8x^2 + 9xy + 18y^2 + 2x + 3y = 16 + (2x + 3y) + 9xy \le 16 + 4 + 6 = 26$ bulunur.

Eşitlik durumu $4x^2+9y^2$ ve $2x - 3y=0$ eşitlikleri sağlandığında, yani $2x = 3y$ olduğunda sağlanır. Verilen eşitlikten $x=1$ ve $y=\dfrac{2}{3}$ olması gerektiği bulunabiliir.