Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 27

[geo]

$\square$ birim kareyi göstermek üzere, istenilen sayıda ve en çok bir tane $\square$ kullanarak aşağıdaki $n$ tam sayılarından hangisi için $n \times n$ lik bir satranç tahtası kaplanamaz?

$
\textbf{a)}\ 96
\qquad\textbf{b)}\ 97
\qquad\textbf{c)}\ 98
\qquad\textbf{d)}\ 99
\qquad\textbf{e)}\ 100
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{\text{Soru hatalıdır}}$

$2$ tane $L$ şekliyle $2\times 3$ bölge kaplanabilir.

Bu durumda $2m \times 3k$ şeklinde alanlar sadece $L$ şekilleriyle kaplanabilir. Bu yolla $6k \times 6k$ şeklinde tahtalar sadece $L$ şekilleriyle kaplanabilir. Bu durumda $96 \times 96$ seçeneği eleniyor.
$n = 96 + 2$ ve $n= 96 + 4$ formundaki tahtalar bir tane $96\times 96$, iki tane $96 \times (n-96)$ şeklinde $L$ ler ile kaplanabilir hale getirilebilir.

Arta kalan $(n-96) \times (n-96)$ alanlar yukarıda gösterildiği gibi bir adet $\square$ kullanılarak kaplanabilir. Bu durumda $98\times 98$ ve $100 \times 100$ tahtaları da kaplanmış oldu.

$97\times 97$ tahtasını $94 \times 93$, $3 \times 92$, $93 \times 4$ lük $L$ lerle kaplanabilir alanlara aşağıdaki şekildeki gibi ayırırsak,

geriye kalan bir köşesindeki bir kare eksik $4\times 5$ lik parça da yukarıdaki gibi $L$ şekilleri ve bir adet $\square$ ile kaplanabilir.

$9\times 9$ luk bloklar yukarıdaki şekildeki gibi kaplanabileceği için $99 \times 99$ luk tahta da kaplanabilir.

O halde şıklarda verilen tüm tahtalar bahsedilen şekilde kaplanabilir.

Not 1:
Resmi cevap anahtarında bu sorunun cevabı $\boxed{D) 99}$ olarak verilmiş.

Kaynak:
AoPS

Not 2:
Bu sorunun hatalı olduğuna dair 2002 yılı Liselerarası Proje Yarışmasında üçüncülük ödülü almış bir çalışmaya Matematik Dünyası Temmuz 2002 (Syf. 19-22) sayısından ulaşabilirsiniz.