Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 26

[geo]

$\sqrt { x + 1998 + \sqrt { x + 1998 + \sqrt { x + 1997 + \sqrt{ x+ 1997 + \dots + \sqrt{ x + 1 + \sqrt{ x+1+\sqrt{x + \sqrt x} }} }}} } = y$ denklemini sağlayan kaç $(x,y)$ sıralı tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 1998
\qquad\textbf{d)}\ 3996
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

İki tarafın karesini alıp, kök içerisinde olmayan ifadeleri sağa geçirelim. Sonra bu kare alma işini
$$\sqrt{x+\sqrt{x}} = A \in \mathbb{Z}$$
elde edene kadar devam ettirelim. Bu işlemi bir adım daha ilerletirsek $\sqrt x = A^2-x \in \mathbb{Z}$ elde ederiz. Bu da $x$'in tam kare olmasını gerektirir.
$T\in \mathbb{Z}^+$ olmak üzere; $x=T^2$ dersek, $x + \sqrt x = A \Rightarrow T^2 + T = A^2$ olur. $T^2 < A^2 < (T+1)^2 = T^2 + 2T + 1$ ardışık iki tam kare arasında bir başka tam kare olamayacağı için bu şekilde bir $x=T^2$ tam sayısı yoktur.