Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 06

[geo]

$x^3-5x^2-22x+56 \equiv 0 \pmod p$ denkliğinin kaç $p$ asal sayısı için $0\leq x \leq p$ olmak üzere üç farklı tam sayı kökü yoktur?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$3.$ dereceden denklemlerin çözümünde genel bir yol olan son terimin çarpanlarından yararlanalım.
$2^3 - 5\cdot 2^2 - 22\cdot 2 + 56 = 8 - 20 - 44 + 56 = 0$ olacağı için $x=2$ bir çözümdür. Polinom bölmesi yaparak diğer kökleri de bulabiliriz. Sonuçta $(x-2)(x-7)(x+4)$ elde edilir. $$(x-2)(x-7)(x+4) \equiv 0 \pmod p$$ denkliğinin çözüm kümesi $\{2,7,-4\}$ tür. Bu elemanlardan ikisi $\bmod{p}$ de birbirine denk ise, denkliğin üç farklı kökü yoktur. Aksi halde denkliğin üç farklı kökü olacaktır. $$\begin{array}{rcrrcl}
2 &\equiv& 7 \pmod p \Rightarrow& 0 \equiv 5 \pmod p \Rightarrow p &=& 5 \\
2 &\equiv& -4 \pmod p \Rightarrow& 6 \equiv 0 \pmod p \Rightarrow p &=& 2 \text{ veya } p = 3 \\
7 &\equiv& -4 \pmod p \Rightarrow& 11 \equiv 0 \pmod p \Rightarrow p &=& 11
\end{array}$$ Bu durumda $p \in \{2,3,5,11\}$ için denkliğin üçten az, farklı kökü vardır.