Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 20

[ERhan ERdoğan]

$100$ öğrencinin girdiği bir sınavda $5$ soru sorulmuş ve her soruyu tam olarak $50$ öğrenci çözmüştür. Çözdüğü soru sayısı ikiyi aşmayan öğrencilerin sayısı en az kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 18
\qquad\textbf{c)}\ 17
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

(Lokman Gökçe)

Tam olarak $0,1,2,3,4,5$ soru çözmüş öğrenci sayıları sırasıyla $x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ olsun. $x_0+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=100$ ve toplam çözülen soru sayısı $5\cdot 50 = 250$ olduğundan $0\cdot x_0+1\cdot x_1+2\cdot x_2+3\cdot x_3+4\cdot x_4+5\cdot x _5=250$ elde edilir. $x_0+x_1+x_2$ toplamının minimum olması için $x_3+x_4+x_5$ toplamının maksimum olması gerekir. $3\cdot x_3+4\cdot x_4+5\cdot x_5 $ ifadesinde en küçük katsayı $x_3$ teriminde olduğundan $x_3$ ü olabildiğince büyük seçmeliyiz. $3 \cdot x_3 \leq 250$ eşitsizliğinden $ x_3 \leq 83$ elde edilir. $ x_3 = 83$ için $  x_1+2\cdot x_2+3\cdot 83+4\cdot x_4+5\cdot x _5=250$ ya da $ x_1+2\cdot x_2 + 4\cdot x_4+5\cdot x _5=1$ olur. Bu denklemde $x_1=1, x_2=x_4=x_5=0$ olmalıdır. Dolayısıyla $x_0=16$ dır. $ (x_0+x_1+x_2)_{min}=16+1+0=17 $ elde edilir.