bereketli sayı

[lazimoluyo]

N den küçük ve N yi bölmeyen her pozitif tam sayı; N nin , tümü birbirinden farklı en az iki pozitif böleninin toplamı şeklinde yazılabiliyorsa , bu N pozitif tam sayısına bereketli sayı diyelim..

Örnek: 18 sayısı bereketli sayıdır: 4=1+3 , 5=2+3 , 7=1+6 , 8=2+6 , 10=1+3+6 , 11=2+3+6 ....

a)Her k doğal sayısı için 2^k nın bereketli sayı olduğunu gösteriniz.
b)Her bereketli N sayısı ve her k doğal sayısı için N^k nin bereketli sayı olduğunu gösteriniz,
c)N ve M bereketli sayıları için NM nin de bereketli sayı olduğunu gösteriniz.

[Ferhat GÖLBOL]

a) 2^k'dan küçük olan her pozitif tamsayı 2 tabanında yazılıp çözümlendiğinde 2'nin farklı kuvvetlerinin toplamı şeklinde yazılır ve bu kuvvetler 2^k'nın farklı bölenleridir. Bu durumda 2^k bir bereketli sayı olur.
örnek: bereketli olan 2⁴=16 sayısı için 13 sayısını incelediğimizde 13 = (1101)₂ = 2³ + 2² + 2⁰ verilen koşulu sağlar.

[lazimoluyo]

hocam cok tesekkürler acaba b ve c şıkları için de yol gösterebilir misiniz ?

[Ferhat GÖLBOL]

c seçeneği, OYAK Liselerarası Matematik Yarışması 2006-İl birinciliği sınavında 3. sorunun b seçeneğinde bulabilirsiniz. c'yi ispatladıktan sonra da b'yi c'den yararlanarak;
       N bereketli sayı olmak koşuluyla
       Her N^k bereketli sayısı için
       N^k+1 = N^k * N   iki bereketli sayının çarpımı olduğundan bereketli sayıdır. k= 1 için koşul sağlandığından her k > 1 doğal sayısı için de koşul sağlanır.
şeklinde tümevarımla gösterebiliriz.