dizi {Çözüldü}

[edizalturk]

Kaynağını bilmediğim bir soru.

[senior]

Sorudaki ifade sanırsam n < 50 için olacak
n(a₁ + a₂ + ... + a_n) = 1 + (a_n+1 + a_n+2 + ... + a₅₀)
n(a₁ + a₂ + ... + a_n) + a_n = 1 + (a_n + a_n+1 + a_n+2 + ... + a₅₀) = (n-1)(a₁ + a₂ + ... + a_n-1) (ana eşitlikten)
n(a₁ + a₂ + ... + a_n-1) + (n+1)a_n = (n-1)(a₁ + a₂ + ... + a_n-1) ==> a₁ + a₂ + ... + a_n-1 = - (n+1)a_n (1)
(1)'i kullanarak a₁ + a₂ + ... + a_n-2 = -n(a_n) deyip (1)' de yerine koyarız(n > 2) ve
-n(a_n + a_n-1 = -(n+1)a_n ==> a_n-1 = ((n+1)/(n-1))a_n (2), n = 3'ten başlayalım:
a₂ = 4/2 a₃
a₃ = 5/3 a₄
...
a_n-2 = a_n-1 (n)/(n-2)
a_n-1 = a_n(n+1)/(n-1)  taraf tarafa çarptığımızda:
a₂ = a_n * n(n+1)/6 (3) olur.
(1) nolu eşitlik n=2 için de geçerli olduğu için a₁ = -3a₂ olur bunu (3)'te yerine koyarsak
a₁ = -a_n * n(n+1)/2 ==> a_n = -2a₁ /(n(n+1)) (4)  olur.
Artık tek yapmamız gereken a₁ 'in değerini bulmak.
Ana eşitlikte n=1 verirsek, a₁ = 1 + (a₂ + a₃ + ... + a₅₀) (4) no'lu eşitliği kullanarak bütün a_k 'li ifadeleri açalım:
a₁ = 1 - 2a₁(1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(5*6) + ... + 1/(50*51)) = 1 - 2a₁( (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/5-1/6) + ... + (1/50-1/51)) = 1 -  2a₁(1/2 - 1/51) ==> a₁ = 51/100
O zaman a₁₆ = -2 * (51/100) * (1/16*17) = -3/800

[senior]

Daha kısa bir çözüm:
ana eşitlikte her iki tarafa a₁ + a₂ + ... + a_n eklediğimizde eşitlik (n+1)(a₁ + a₂ + ... + a_n) = 1 + a₁ + a₂ + ... + a₅₀  haline gelir. n=50 için,
51(a₁ + a₂ + ... + a₅₀) = 1 + a₁ + a₂ + ... + a₅₀ ==> a₁ + a₂ + ... + a₅₀ = 1/50
n=15, için 16(a₁ + a₂ + ... + a₁₅) = 1+ 1/50 ==> a₁ + a₂ + ... + a₁₅ = 51/(16*50)
n=16 için 17(a₁ + a₂ + ... + a₁₆) = 51/50 ==> 17a₁₆ = 51/50 - 17(a₁ + a₂ + ... + a₁₅) ==> a₁₆ = -3/800

Not: Bu çözümde n=50 kullandım ama soruda verilen ifadede n=50 için eşitliğin sağ tarafının ne olacağı belli olmalı bence