Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2014 Soru 1

[Eray]

Bir $ABC$ üçgeninin $B$ ve $C$ köşelerinden geçen bir çember $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, köşelerden farklı $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $BF$ doğrusunun $CE$ doğrusunu kestiği nokta $P$ ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez kestiği nokta $Q$ olmak üzere; $|FA|=|FC|$ ve $|FP|=|FQ|$ ise, $AP$ ve $BC$ doğrularının birbirine dik olduğunu kanıtlayınız.

[MATSEVER 27]

$FAP$ ve $FQC$ üçgenleri K.A.K benzerliğinden eştir. Açılardan $APQC$ paralelkenardır. $\angle{FPC}=a$ diyelim. $\angle{AQP}=\angle{ACB}=a$ olur. İspatlanması gereken $\angle{PAF}=90-a$ dır. $\angle{QAF}=b$ diyelim. Açılardan $\angle{ACP}=\angle{ABF}=\angle{QBC}=\angle{ACQ}=b$ olur. $AQ=QC$ olur. $AF=FC$ olduğundan $QP \perp AC$ olur. Bu da $a+b=90$ demektir. $PF=FQ$ olduğundan $AP=AQ$ ve $\angle{APF}=a$ olur. $AP \cap BC=H$ olsun. $\angle{BPH}=a$ olur. Bu da $\angle{BHP}=180-a-b=90^\circ$ olur ve ispat biter.