İki kefeli terazi problemleri

[Lokman Gökçe]

BU başlıkta iki kefeli terazi problemlerini derlemeyi düşündüm. Aklımıza gelen problemleri ve çözümlerini burada sunabiliriz.


Problem 1. Görünüşleri aynı olan $n$ tane madeni paradan biri, diğerlerinden daha ağırdır. İki kefeli bir terazi kullanarak en az kaç adımda, farklı olan parayı belirlemeyi garantileyebiliriz?


Problem 2. Görünüşleri aynı olan $n$ tane madeni paradan biri, diğerlerinden ağırlıkça farklıdır. Farklı olan paranın diğerlerinden daha ağır mı, hafif mi olduğunu da bilmiyoruz. İki kefeli bir terazi kullanarak en az kaç adımda, farklı olan parayı belirlemeyi garantileyebiliriz?


Problem 3. Görünüşleri aynı olan $n$ tane madeni paradan biri, diğerlerinden ağırlıkça farklıdır. Farklı olan paranın diğerlerinden daha ağır mı, hafif mi olduğunu da bilmiyoruz. İki kefeli bir terazi kullanarak en az kaç adımda, farklı olan parayı ve onu diğerlerinde ağır/hafif olma durumunu belirlemeyi garantileyebiliriz?

[Lokman Gökçe]

Problem 1'in Çözümü: Küçük durumlarda problemin çözümü kolaydır. $n=2$ tane para varken, $1$ tartıda hangisinin ağır olduğunu belirleyebiliriz. $n=3$ tane madeni para varsa ikisini seçip karşılaştırırız. Bunlardan biri daha ağır gelirse, farklı olanı bulduk demektir. Bunlar birbirine eşit ise, tartmadığımız üçüncü para ağır olandır. Yine $1$ tartı yeterlidir.

$n$ tane paranın durumunu belirlemek istiyoruz. Her bir tartıda $3$ bilgi üretebiliyoruz: Sağ taraf ağır, sol taraf ağır veya tarafların birbirine eşit (denge) olması. Dolayısıyla $k$ tartıyla elde edilebilecek farklı sonuç dizisi sayısı $3^n$ olur. Elimizde $n$ madeni para varsa ve bunlardan bir tanesinin ağır olduğunu biliyorsak, hangi paranın ağır olduğunu “ayrıt etmemiz gereken durum sayısı” tam olarak $n$’dir. Dolayısıyla
$$ 3^k \geq n $$
olmalıdır. Bu durumda, $k \geq \lceil \log_{3}n \rceil$ olup
$$k_{\min} =  \lceil \log_{3}n \rceil$$
sonucuna ulaşırız. Gerçekten $k = \lceil \log_{3}n \rceil$ tartı ile pratikte bunu nasıl yapabileceğimizi de gösterelim.
Genel olarak $n$'yi mümkün olduğunca eşit $3$ parçaya bölebiliriz. Sonra eşit iki parçayı karşılaştırırız. Bunlardan hangisi ağır tarafta ise o gruba yöneliriz, diğerlerini eleriz. Eşitlik durumunda da üçüncü gruba yöneliriz.

Örneğin $n=8$ madeni para için $3 + 3 + 2$ şeklinde bölelim. $3$'lü olan iki grubu karşılaştırırız. Bunlardan biri ağır geldiyse o üçlü gruptaki ağır olanı belirlemek için $1$ tartı daha yaparız ($n=3$ durumunu yukarıda açıklamıştık). Eğer bu üçlü gruplar dengede ise, ağır olan para henüz tartmadığımız ikili gruptadır. Bu ikisini karşılaştırmak için $1$ tartı yaparız. Sonuç olarak $n=8$ madeni para için $2$ tartı yeterli olmaktadır. Bu durum $k\geq \lceil \log_{3}8 \rceil = 2$ ile desteklenmektedir.

[geo]

1.İki kollu olmayan bir soru:
https://yilmazaksoy.com/genel/bir-tarti-sorusu-uzerine-cesitlemeler

2. The USSR Olympiad Book'tan 5. Soru:

Twenty metal blocks are of the same size and external appearance; some are aluminum, and the rest are duraluminum, which is heavier. Using at most eleven weighings on a pan balance, how can we determine how many blocks are aluminum?

3. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Balance_puzzle

4. https://www.math.kent.edu/~soprunova/64091f16/weight16.pdf

5. https://arxiv.org/pdf/1310.7268

6. https://www.cut-the-knot.org/blue/OddballProblem1.shtml