Gönderen Konu: Genelleştirilmiş Türkiye TST 1997 #6 {çözüldü}  (Okunma sayısı 175 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş Türkiye TST 1997 #6 {çözüldü}
« : Aralık 25, 2023, 11:45:37 ös »
Genelleştirme 1
$n\ge 2$ verilmiş bir tam sayı olsun. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=\lambda$ koşulunu sağlayan $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ pozitif sayıları için

$$
\dfrac{x_{1}^{k}}{x_{2}+x_{3}+\ldots + x_{n}} + \dfrac{x_{2}^{k}}{x_{1}+x_{3}+\ldots + x_{n}} + \dots + \dfrac{x_{n}^{k}}{x_{1}+x_{2}+\ldots + x_{n-1}}\geq \dfrac{1}{n-1}\sqrt{\dfrac{\lambda^{k-1}}{n^{k-3}}}$$ 


olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ocak 31, 2024, 09:38:28 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Türkiye TST 1997 #6
« Yanıtla #1 : Ocak 31, 2024, 09:37:32 ös »
Genelleştirilmiş Radon Eşitsizliği'ni kullanacağız
$$LHS=\sum_{cyc- i}{\dfrac{x_i^k}{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}}=\sum_{cyc- i}{\dfrac{x_i^{k+1}}{x_i\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)-x_i^2}}\overbrace{\geq}^{G. Radon} \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{x_1^2}\right)^{\dfrac{k+1}{2}}}{n^{\dfrac{k-3}{2}}\left(\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2-\sum\limits_{cyc}{x_1^2}\right)}$$
$$=\dfrac{\lambda^{\dfrac{k+1}{2}}}{n^{\dfrac{k-3}{2}}\left(\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2-\lambda\right)}$$
Şimdi Kuvvet Ortalaması veya Cauchy kullanarak
$$\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2\leq n\sum\limits_{cyc}{x_1^2}=\lambda n$$
$$LHS\geq \dfrac{\lambda^{\dfrac{k+1}{2}}}{n^{\dfrac{k-3}{2}}\left(\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2-\lambda\right)}\geq \dfrac{\lambda^{\dfrac{k+1}{2}}}{n^{\dfrac{k-3}{2}}.\lambda\left(n-1\right)}=\dfrac{1}{n-1}\sqrt{\dfrac{\lambda ^{k-1}}{n^{k-3}}}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal