Genelleştirilmiş İran MO 3. Aşama 2021 #A.1 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a, b, c,d$ pozitif reeller olmak üzere $a+b+c+d = p$ ise


$$\dfrac{ab}{a^2-\dfrac{k+\beta }{k}a+\dfrac{k+\lambda }{k}} +\dfrac{bc}{b^2-\dfrac{k+\beta }{k}b+\dfrac{k+\lambda }{k}}+ \dfrac{cd}{c^2-\dfrac{k+\beta }{k}c+\dfrac{k+\lambda }{k}}+\dfrac{da}{d^2-\dfrac{k+\beta }{k}d+\dfrac{k+\lambda }{k}} \leq \dfrac{p^2k}{p\left(k-\beta\right)+4\lambda}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$k=3,\lambda =1,\beta=1,p=4$$
verildiğinde problem İran MO 3. Aşama 2021 #A.1'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Aritmetik-Geometrik Ortalama'dan $ka^2+k-ka-\beta a\geq ka-\beta a$ olduğunu kullanırsak
$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{ab}{a^2-\dfrac{k+\beta}{k}a+\dfrac{k+\lambda}{k}}}=\sum_{cyc}{\dfrac{kab}{ka^2-\left(k-\beta\right)a+k+\lambda}}\overbrace{\leq}^{AGO} \sum_{cyc}{\dfrac{kab}{\left(k-\beta\right)a+\lambda}}$$
olduğunu söyleyebiliriz. Şimdi cebirsel bir adımla
$$\dfrac{kab}{\left(k-\beta\right)a+\lambda}=\dfrac{k}{k-\beta}\left(b-\dfrac{\lambda b}{(k-\beta)a+\lambda}\right)$$
olduğuna dikkat edelim. O zaman $a+b+c+d=p$ olduğunu da kullanarak
$$ \sum_{cyc}{\dfrac{kab}{\left(k-\beta\right)a+\lambda}}=\dfrac{k}{k-\beta}\sum_{cyc}{\left(b-\dfrac{\lambda b}{(k-\beta)a+\lambda}\right)}=\dfrac{k\left(p-\sum\limits_{cyc}{\dfrac{\lambda b}{(k-\beta)a+\lambda}}\right)}{k-\beta}$$
Şimdi paydaki eksili toplama Bergstorm Eşitsizliği uygulayacak olursak
$$\sum\limits_{cyc}{\dfrac{\lambda b}{(k-\beta)a+\lambda}}=\sum\limits_{cyc}{\dfrac{\lambda b^2}{(k-\beta)ab+\lambda b}}\overbrace{\geq}^{Bergstorm} \dfrac{\lambda \left(a+b+c+d\right)^2}{(k-\beta)(ab+bc+cd+da)+\lambda (a+b+c+d}$$
$$=\dfrac{\lambda p^2}{(k-\beta)(a+c)(b+d)+\lambda p}$$
$$\geq \dfrac{\lambda p^2}{\dfrac{p^2(k-\beta)}{4}+\lambda p}=\dfrac{\lambda p}{\dfrac{p(k-\beta)}{4}+\lambda }$$
olduğunu $(a+c)(b+d)\leq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}$ olduğundan söyleyebiliriz. Bunu problemde kaldığımız yere koyarsak
$$LHS\leq \dfrac{k\left(p-\sum\limits_{cyc}{\dfrac{\lambda b}{(k-\beta)a+\lambda}}\right)}{k-\beta}\leq \dfrac{k\left(p-\dfrac{\lambda p}{\dfrac{p(k-\beta)}{4}+\lambda }\right)}{k-\beta}=\dfrac{kp\left(1-\dfrac{4\lambda}{p(k-\beta)+4\lambda}\right)}{k-\beta}=\dfrac{kp^2}{\left(k-\beta\right)p+4\lambda}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.