Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2010 #4 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$x_1,x_2,\cdots,x_n$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere


$$\sum_{cyc-i}{\dfrac{x_i\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+ x_{i-1}\right)+1}{\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}+1\right)^2}}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$n=3,\lambda=1$$
verildiğinde problem Japonya MO Final 2010 #4'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cauchy kullanırsak
$$\left(x_i\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}\right)+1\right)\left(\dfrac{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}{x_i}+1\right) \overbrace{\geq}^{Cauchy} \left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}+1\right)^2$$
$$\Rightarrow \dfrac{x_i\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+ x_{i-1}\right)+1}{\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}+1\right)^2}\geq \dfrac{1}{\dfrac{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}{x_i}+1}$$
olduğunu söyleyebiliriz. O zaman bunu problemde yerine koyarsak
$$LHS=\sum_{cyc-i}{\dfrac{x_i\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+ x_{i-1}\right)+1}{\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}+1\right)^2}}\geq \sum_{cyc-i}{\dfrac{1}{\dfrac{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}{x_i}+1}}=\sum_{cyc-i}{\dfrac{x_i}{\sum\limits_{cyc}{x_1}}}=1$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.