Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2005 #3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a_{1},a_2,\cdots,a_n$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere $\sum_{cyc}{a_i}=\lambda$ ise


$$\sum_{cyc-j}{a_{j}\sqrt[n]{\lambda+a_{j+1}-a_{j-1}}}\leq \dfrac{\lambda\left(\lambda+n-1\right)}{n}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a_{1},a_2,\cdots,a_n,p,\lambda$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere $\sum_{cyc}{a_i}=\beta$ ise


$$\sum_{cyc-j}{a_{j}\sqrt[p]{\lambda+a_{j+1}-a_{j-1}}}\geq \dfrac{\beta\left(\lambda+p-1\right)}{p}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$n=p=3,\lambda=1$$
verildiğinde problem Japonya MO Finap 2005 #3'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2'nin ispatını verelim. Aritmetik-Geometrik Ortalama'dan
$$LHS=\sum_{cyc-j}{a_{j}\sqrt[p]{\lambda+a_{j+1}-a_{j-1}}}\leq \sum_{cyc-j}{\dfrac{a_j\left(\lambda+p-1+a_{j+1}-a_{j-1}\right)}{p}}=\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\lambda+p-1\right)+\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}-a_ja_{j-1}}}{p}$$
$\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}-a_ja_{j-1}}=0$ olduğuna dikkat edelim. İki terim de birbirinden ayrıldığında özdeş toplamlar haline gelir. O zaman
$$LHS\leq \dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\lambda+p-1\right)+\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}-a_ja_{j-1}}}{p}=\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\lambda+p-1\right)}{p}=\dfrac{\beta\left(\lambda+p-1\right)}{p}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.