Gönderen Konu: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2005 #3 {çözüldü}  (Okunma sayısı 193 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2005 #3 {çözüldü}
« : Kasım 27, 2023, 10:09:37 ös »
Genelleştirme 1
$a_{1},a_2,\cdots,a_n$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere $\sum_{cyc}{a_i}=\lambda$ ise


$$\sum_{cyc-j}{a_{j}\sqrt[n]{\lambda+a_{j+1}-a_{j-1}}}\leq \dfrac{\lambda\left(\lambda+n-1\right)}{n}$$


olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Şubat 01, 2024, 09:04:20 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2005 #3
« Yanıtla #1 : Kasım 27, 2023, 10:11:16 ös »
Genelleştirme 2
$a_{1},a_2,\cdots,a_n,p,\lambda$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere $\sum_{cyc}{a_i}=\beta$ ise


$$\sum_{cyc-j}{a_{j}\sqrt[p]{\lambda+a_{j+1}-a_{j-1}}}\geq \dfrac{\beta\left(\lambda+p-1\right)}{p}$$


olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Şubat 01, 2024, 09:03:19 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2005 #3
« Yanıtla #2 : Kasım 27, 2023, 10:12:28 ös »
$$n=p=3,\lambda=1$$
verildiğinde problem Japonya MO Finap 2005 #3'e dönüşür.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2005 #3
« Yanıtla #3 : Şubat 01, 2024, 09:02:23 ös »
Genelleştirme 2'nin ispatını verelim. Aritmetik-Geometrik Ortalama'dan
$$LHS=\sum_{cyc-j}{a_{j}\sqrt[p]{\lambda+a_{j+1}-a_{j-1}}}\leq \sum_{cyc-j}{\dfrac{a_j\left(\lambda+p-1+a_{j+1}-a_{j-1}\right)}{p}}=\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\lambda+p-1\right)+\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}-a_ja_{j-1}}}{p}$$
$\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}-a_ja_{j-1}}=0$ olduğuna dikkat edelim. İki terim de birbirinden ayrıldığında özdeş toplamlar haline gelir. O zaman
$$LHS\leq \dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\lambda+p-1\right)+\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}-a_ja_{j-1}}}{p}=\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\lambda+p-1\right)}{p}=\dfrac{\beta\left(\lambda+p-1\right)}{p}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal