Gönderen Konu: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2006 #5 {çözüldü}  (Okunma sayısı 197 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2006 #5 {çözüldü}
« : Kasım 26, 2023, 11:13:55 ös »
Genelleştirme 1
$\left(x_1\right)_1,\left(x_1\right)_2,\cdots,\left(x_1\right)_p,\left(x_2\right)_1,\left(x_2\right)_2,\cdots,\left(x_2\right)_p,\cdots \cdots,\left(x_n\right)_p$ pozitif reeller olmak üzere
$$M=\prod_{i=1}^{n}{\left(\sum_{cyc}{x_i^n}+1\right)} \qquad \text{ve} \qquad N=A\prod_{j=1}^{n}{\left(\sum_{k=1}^{p}{\left(x_p\right)_1}\right)}$$
olmak üzere $M\geq N$ ise
$$A\leq \dfrac{n^n}{\left[p\left(n-1\right)\right]^{n-1}}$$
olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Şubat 01, 2024, 07:04:26 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2006 #5
« Yanıtla #1 : Kasım 26, 2023, 11:17:47 ös »
Burada $$A\leq \dfrac{n^n}{\sqrt[p-1]{p\left(n-1\right)}}$$
elde edilecektir.
$$n=3,p=3$$
verildiğinde problem Japonya MO Final 2006 #5'e dönüşür.
« Son Düzenleme: Şubat 01, 2024, 04:12:18 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2006 #5
« Yanıtla #2 : Şubat 01, 2024, 07:04:03 ös »
Hölder Eşitsizliği'ni kullanacağız. İfadelerin kuvvetleri toplamının $\dfrac{1}{n}.n=1$ olduğuna dikkat edelim. Ayrıca çarpılan ifadelerdeki $1$'i $(n-1)p$ tane $\dfrac{1}{p(n-1)}$ olarak yazacağız.
$$\sqrt[n]{M}=\sqrt[n]{\left(x_1\right)_1^n+\left(x_1\right)_2^n+\cdots+\left(x_1\right)_p^n+\overbrace{\dfrac{1}{p(n-1)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{p(n-1)}} \quad \cdot$$
$$\sqrt[n]{\overbrace{\dfrac{1}{p(n-1)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{p}+\left(x_2\right)_1^n+\left(x_2\right)_2^n+\cdots+\left(x_2\right)_p^n+\overbrace{\dfrac{1}{p(n-2)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{p(n-1)}}\quad \cdot$$
$$\sqrt[n]{\overbrace{\dfrac{1}{p(n-1)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{2p}+\left(x_3\right)_1^n+\left(x_3\right)_2^n+\cdots+\left(x_3\right)_p^n+\overbrace{\dfrac{1}{p(n-2)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-3)}}^{p(n-1)}}\quad \cdot$$
$$\vdots$$
$$\sqrt[n]{\overbrace{\dfrac{1}{p(n-1)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{p(n-
1)}+\left(x_n\right)_1^n+\left(x_n\right)_2^n+\cdots+\left(x_n\right)_p^n}\quad \cdot$$
$$\overbrace{\geq}^{Hölder} \sum_{j=1}^{n}{\sum_{i=1}^{p}{\sqrt[n]{\dfrac{\left(x_j\right)_i^{n}}{\left(p\left(n-1\right)\right)^{n-1}}}}}$$
$$=\dfrac{1}{\sqrt[n]{\left(p(n-1)\right)^{n-1}}}\left[\left(\left(x_1\right)_1+\left(x_2\right)_1+\cdots+\left(x_n\right)_1\right)+\left(\left(x_1\right)_2+\left(x_2\right)_2+\cdots+\left(x_n\right)_2\right)+\cdots+\left(\left(x_1\right)_p+\left(x_2\right)_p+\cdots+\left(x_n\right)_p\right)\right]$$
elde ederiz. Uyguladığımız Hölder'de $\sum\limits_{k=1}^{n}{\left(x_k\right)_p}$ 'leri hep $p$ kadar öne koyuyor ve tüm tablodaki çarpımda birbirleriyle çarpılmamalarını sadece katsayılarla çarpılmalarını sağlıyoruz. Toplamda değişken sayımız  $np$  ve bir kökte de  $p$  tane olduğundan  $1$  ifadesini  $n(p-1)$ 'e bölüp tabloyu doldurduk. Ana motivasyonumuz buydu ve problemin çoğu bitti. Şimdi Aritmetik-Geometrik Ortalamadan
$$\sqrt[n]{M}\geq \dfrac{1}{\sqrt[n]{\left(p(n-1)\right)^{n-1}}}\left[\left(\left(x_1\right)_1+\left(x_2\right)_1+\cdots+\left(x_n\right)_1\right)+\left(\left(x_1\right)_2+\left(x_2\right)_2+\cdots+\left(x_n\right)_2\right)+\cdots+\left(\left(x_1\right)_p+\left(x_2\right)_p+\cdots+\left(x_n\right)_p\right)\right]$$
$$\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{1}{\sqrt[n]{\left(p(n-1)\right)^{n-1}}}.n\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}{\left(\sum_{k=1}^{p}{\left(x_p\right)_1}\right)}}=\dfrac{n}{\sqrt[n]{\left(p(n-1)\right)^{n-1}}}\sqrt[n]{N}$$
Her iki tarafın $n$ 'inci kuvvetini alırsak
$$M\geq \dfrac{n^n}{\left[p(n-1)\right]^{n-1}}.N$$
elde ederiz. O zaman $A$ 'nın maksimum değeri
$$\dfrac{n^n}{\left[p(n-1)\right]^{n-1}}$$
olarak ortaya çıkar ve ispatı tamamlarız



« Son Düzenleme: Şubat 10, 2024, 06:05:13 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal