Hölder Eşitsizliği'ni kullanacağız. İfadelerin kuvvetleri toplamının $\dfrac{1}{n}.n=1$ olduğuna dikkat edelim. Ayrıca çarpılan ifadelerdeki $1$'i $(n-1)p$ tane $\dfrac{1}{p(n-1)}$ olarak yazacağız.
$$\sqrt[n]{M}=\sqrt[n]{\left(x_1\right)_1^n+\left(x_1\right)_2^n+\cdots+\left(x_1\right)_p^n+\overbrace{\dfrac{1}{p(n-1)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{p(n-1)}} \quad \cdot$$
$$\sqrt[n]{\overbrace{\dfrac{1}{p(n-1)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{p}+\left(x_2\right)_1^n+\left(x_2\right)_2^n+\cdots+\left(x_2\right)_p^n+\overbrace{\dfrac{1}{p(n-2)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{p(n-1)}}\quad \cdot$$
$$\sqrt[n]{\overbrace{\dfrac{1}{p(n-1)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{2p}+\left(x_3\right)_1^n+\left(x_3\right)_2^n+\cdots+\left(x_3\right)_p^n+\overbrace{\dfrac{1}{p(n-2)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-3)}}^{p(n-1)}}\quad \cdot$$
$$\vdots$$
$$\sqrt[n]{\overbrace{\dfrac{1}{p(n-1)}+\dfrac{1}{p(n-1)}+\cdots+\dfrac{1}{p(n-1)}}^{p(n-
1)}+\left(x_n\right)_1^n+\left(x_n\right)_2^n+\cdots+\left(x_n\right)_p^n}\quad \cdot$$
$$\overbrace{\geq}^{Hölder} \sum_{j=1}^{n}{\sum_{i=1}^{p}{\sqrt[n]{\dfrac{\left(x_j\right)_i^{n}}{\left(p\left(n-1\right)\right)^{n-1}}}}}$$
$$=\dfrac{1}{\sqrt[n]{\left(p(n-1)\right)^{n-1}}}\left[\left(\left(x_1\right)_1+\left(x_2\right)_1+\cdots+\left(x_n\right)_1\right)+\left(\left(x_1\right)_2+\left(x_2\right)_2+\cdots+\left(x_n\right)_2\right)+\cdots+\left(\left(x_1\right)_p+\left(x_2\right)_p+\cdots+\left(x_n\right)_p\right)\right]$$
elde ederiz. Uyguladığımız Hölder'de $\sum\limits_{k=1}^{n}{\left(x_k\right)_p}$ 'leri hep $p$ kadar öne koyuyor ve tüm tablodaki çarpımda birbirleriyle çarpılmamalarını sadece katsayılarla çarpılmalarını sağlıyoruz. Toplamda değişken sayımız $np$ ve bir kökte de $p$ tane olduğundan $1$ ifadesini $n(p-1)$ 'e bölüp tabloyu doldurduk. Ana motivasyonumuz buydu ve problemin çoğu bitti. Şimdi Aritmetik-Geometrik Ortalamadan
$$\sqrt[n]{M}\geq \dfrac{1}{\sqrt[n]{\left(p(n-1)\right)^{n-1}}}\left[\left(\left(x_1\right)_1+\left(x_2\right)_1+\cdots+\left(x_n\right)_1\right)+\left(\left(x_1\right)_2+\left(x_2\right)_2+\cdots+\left(x_n\right)_2\right)+\cdots+\left(\left(x_1\right)_p+\left(x_2\right)_p+\cdots+\left(x_n\right)_p\right)\right]$$
$$\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{1}{\sqrt[n]{\left(p(n-1)\right)^{n-1}}}.n\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}{\left(\sum_{k=1}^{p}{\left(x_p\right)_1}\right)}}=\dfrac{n}{\sqrt[n]{\left(p(n-1)\right)^{n-1}}}\sqrt[n]{N}$$
Her iki tarafın $n$ 'inci kuvvetini alırsak
$$M\geq \dfrac{n^n}{\left[p(n-1)\right]^{n-1}}.N$$
elde ederiz. O zaman $A$ 'nın maksimum değeri
$$\dfrac{n^n}{\left[p(n-1)\right]^{n-1}}$$
olarak ortaya çıkar ve ispatı tamamlarız