Gönderen Konu: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2010 #4 {çözüldü}  (Okunma sayısı 213 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2010 #4 {çözüldü}
« : Kasım 26, 2023, 10:23:50 ös »
Genelleştirme 1
$x_1,x_2,\cdots,x_n$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere


$$\sum_{cyc-i}{\dfrac{x_i\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+ x_{i-1}\right)+1}{\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}+1\right)^2}}$$

olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Şubat 01, 2024, 10:30:52 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Japan MO Final 2010 #4
« Yanıtla #1 : Kasım 26, 2023, 10:27:11 ös »
$$n=3,\lambda=1$$
verildiğinde problem Japonya MO Final 2010 #4'e dönüşür.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2010 #4
« Yanıtla #2 : Şubat 01, 2024, 10:27:24 ös »
Cauchy kullanırsak
$$\left(x_i\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}\right)+1\right)\left(\dfrac{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}{x_i}+1\right) \overbrace{\geq}^{Cauchy} \left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}+1\right)^2$$
$$\Rightarrow \dfrac{x_i\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+ x_{i-1}\right)+1}{\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}+1\right)^2}\geq \dfrac{1}{\dfrac{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}{x_i}+1}$$
olduğunu söyleyebiliriz. O zaman bunu problemde yerine koyarsak
$$LHS=\sum_{cyc-i}{\dfrac{x_i\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+ x_{i-1}\right)+1}{\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}+1\right)^2}}\geq \sum_{cyc-i}{\dfrac{1}{\dfrac{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}{x_i}+1}}=\sum_{cyc-i}{\dfrac{x_i}{\sum\limits_{cyc}{x_1}}}=1$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.
« Son Düzenleme: Şubat 10, 2024, 07:51:39 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal