Gönderen Konu: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2014 #5 {çözüldü}  (Okunma sayısı 202 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2014 #5 {çözüldü}
« : Kasım 26, 2023, 06:21:47 ös »
Genelleştirme 1
$a+b+c=1$ eşitliğini sağlayan tüm negatif olmayan $a,b,c$ sayıları için aşağıdaki eşitsizliği sağlayan


$$\dfrac{a}{\lambda-1+9bc+k\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\lambda-1+9ca+k\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\lambda-1+9ab+k\left(a-b\right)^2}\geq \dfrac{1}{\lambda}$$


$k$ sayısının maksimum değerini bulunuz.
« Son Düzenleme: Şubat 01, 2024, 04:46:51 öö Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2014 #5
« Yanıtla #1 : Kasım 26, 2023, 06:26:28 ös »
$$\lambda=2$$
verildiğinde problem Japonya MO Final 2014 #5'e dönüşür.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Japonya MO Final 2014 #5
« Yanıtla #2 : Şubat 01, 2024, 04:46:28 öö »
Öncelikle $a=b=\dfrac{1}{2} , c=0$ verildiğinde basit hesaplamalar sonucu $k\leq 4$ olduğunu elde ederiz. O zaman biz en büyük değerin $k=4$ olduğunu gösterelim. Bergstorm Eşitsizliği'ni kullanırsak
$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{a}{\lambda-1+9bc+4\left(b-c\right)^2}}=\sum_{cyc}{\dfrac{a^2}{\left(\lambda-1\right)a+9abc+4a\left(b-c\right)^2}}\overbrace{\leq}^{Bergstorm} \dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(\lambda-1\right)\left(a+b+c\right)+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc}$$
$$=\dfrac{1}{\lambda-1+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc}\geq \dfrac{1}{\lambda}$$
sondaki eşitsizliği göstermemiz problemin ispatında yeterli olacaktır. Gösterelim.
$$=\dfrac{1}{\lambda-1+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc}\geq \dfrac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda\geq \lambda-1+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc$$
$$\Rightarrow 1\leq 4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc$$
$a+b+c=1$ bilgisini kullanırsak
$$1=\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\sum_{sym}{ab^2}+6abc\geq 4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc \Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq 4\sum_{sym}{ab^2}$$
Son ifade ise Schur Eşitsizliği'nin 1. derece hali olduğundan doğrudur. İspat tamamlanır.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal