Genelleştirilmiş Türkiye 2. Aşama 2020 #3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$x_{1},x_2,\cdots,x_{2k+1}$ pozitif reeller ($k\geq 1$) olmak üzere


$$2\sqrt{\left(\sum_{cyc}{x_{1}}\right)\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{x_{1}}}\right)}-\sqrt{\dfrac{1}{x_2}\left(x_1+x_2+\cdots+x_{2k}\right)\left(1+\dfrac{x_2}{x_3}+\dfrac{x_2}{x_4}+\cdots+\dfrac{x_2}{x_{2k+1}}\right)}\geq 2\sqrt{2}+2k-1$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$k=1$$
verildiğinde problem Türkiye 2. Aşama 2020 #2'ye dönüşür.
Minimum değer $2\sqrt{2}+1$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Kareköklü ifadenin katsayısının $2$ olması ispatı aynı ifade ile ikiye ayırıp ilerleteceğimizi gösteriyor. İlkinde çıkarılacak ifade ile ilgili bir eşitsizlik, diğerinde de Aritmetik-Geometrik Ortalama kullanacağız. Cauchy ile
$$\sqrt{\left(\sum_{cyc}{x_{1}}\right)\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{x_{1}}}\right)}=\sqrt{\left(\left(x_1+x_2+\cdots+x_{2k}\right)+x_{2k+1}\right)\left(\dfrac{1}{x_1}+\left(\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}\right)\right)}$$
$$\overbrace{\geq}^{Cauchy} \sqrt{(\left(x_1+x_2+\cdots+x_{2k}\right)\left(\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}\right)}+\sqrt{\dfrac{x_{2k+1}}{x_1}}$$
$$=\sqrt{\dfrac{1}{x_2}\left(x_1+x_2+\cdots+x_{2k}\right)\left(1+\dfrac{x_2}{x_3}+\dfrac{x_2}{x_4}+\cdots+\dfrac{x_2}{x_{2k+1}}\right)}+\sqrt{\dfrac{x_{2k+1}}{x_1}}$$
elde ederiz. Yine aynı ifadeye Cauchy uygularsak
$$\sqrt{\left(\left(x_1+x_2+\cdots+x_{2k}\right)+x_{2k+1}\right)\left(\dfrac{1}{x_1}+\left(\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}\right)\right)}$$
$$\overbrace{\geq}^{Cauchy} \sqrt{\dfrac{x_{2k+1}}{x_1}}+\sqrt{\dfrac{x_{2k}}{x_2}}+\cdots+\sqrt{\dfrac{x_{k+2}}{x_k}}+1+\sqrt{\dfrac{x_{k}}{x_{k+2}}}+\cdots+\sqrt{\dfrac{x_{1}}{x_{2k+1}}}$$
olduğunu söyleyebiliriz ve aradaki $1$ ise terim sayımızın tek olmasından oluşur. O zaman iki eşitsizliği toplarsak
$$2\sqrt{\left(\sum_{cyc}{x_{1}}\right)\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{x_{1}}}\right)}$$
$$\geq \sqrt{\dfrac{1}{x_2}\left(x_1+x_2+\cdots+x_{2k}\right)\left(1+\dfrac{x_2}{x_3}+\dfrac{x_2}{x_4}+\cdots+\dfrac{x_2}{x_{2k+1}}\right)}+2\sqrt{\dfrac{x_{2k+1}}{x_1}}+\sqrt{\dfrac{x_{2k}}{x_2}}+\cdots+\sqrt{\dfrac{x_{k+2}}{x_k}}+1+\sqrt{\dfrac{x_{k}}{x_{k+2}}}+\cdots+\sqrt{\dfrac{x_{1}}{x_{2k+1}}}$$
Bundan ötürü bu eşitsizliği problemde yerine koyarsak
$$LHS=2\sqrt{\left(\sum_{cyc}{x_{1}}\right)\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{x_{1}}}\right)}-\sqrt{\dfrac{1}{x_2}\left(x_1+x_2+\cdots+x_{2k}\right)\left(1+\dfrac{x_2}{x_3}+\dfrac{x_2}{x_4}+\cdots+\dfrac{x_2}{x_{2k+1}}\right)}$$
$$\geq 2\sqrt{\dfrac{x_{2k+1}}{x_1}}+\sqrt{\dfrac{x_{2k}}{x_2}}+\cdots+\sqrt{\dfrac{x_{k+2}}{x_k}}+1+\sqrt{\dfrac{x_{k}}{x_{k+2}}}+\cdots+\sqrt{\dfrac{x_{1}}{x_{2k+1}}}$$
$$=2\sqrt{\dfrac{x_{2k+1}}{x_1}}+\sqrt{\dfrac{x_{1}}{x_{2k+1}}}+\sqrt{\dfrac{x_{2k}}{x_2}}+\sqrt{\dfrac{x_{2}}{x_{2k}}}+\cdots+\sqrt{\dfrac{x_{k+2}}{x_k}}+\sqrt{\dfrac{x_{k}}{x_{k+2}}}+1\overbrace{\leq}^{AGO} 2\sqrt{2}+\overbrace{2+2+\cdots+2}^{k-1}+1=2\sqrt{2}+2k-1$$
son satırda sırasız ikilileri grupladık. İspatı tamamlarız.