Genelleştirilmiş Türkiye TST 1997 #6 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$n\ge 2$ verilmiş bir tam sayı olsun. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=\lambda$ koşulunu sağlayan $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ pozitif sayıları için

$$
\dfrac{x_{1}^{k}}{x_{2}+x_{3}+\ldots + x_{n}} + \dfrac{x_{2}^{k}}{x_{1}+x_{3}+\ldots + x_{n}} + \dots + \dfrac{x_{n}^{k}}{x_{1}+x_{2}+\ldots + x_{n-1}}\geq \dfrac{1}{n-1}\sqrt{\dfrac{\lambda^{k-1}}{n^{k-3}}}$$ 


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Radon Eşitsizliği'ni kullanacağız
$$LHS=\sum_{cyc- i}{\dfrac{x_i^k}{x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}}=\sum_{cyc- i}{\dfrac{x_i^{k+1}}{x_i\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)-x_i^2}}\overbrace{\geq}^{G. Radon} \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{x_1^2}\right)^{\dfrac{k+1}{2}}}{n^{\dfrac{k-3}{2}}\left(\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2-\sum\limits_{cyc}{x_1^2}\right)}$$
$$=\dfrac{\lambda^{\dfrac{k+1}{2}}}{n^{\dfrac{k-3}{2}}\left(\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2-\lambda\right)}$$
Şimdi Kuvvet Ortalaması veya Cauchy kullanarak
$$\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2\leq n\sum\limits_{cyc}{x_1^2}=\lambda n$$
$$LHS\geq \dfrac{\lambda^{\dfrac{k+1}{2}}}{n^{\dfrac{k-3}{2}}\left(\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2-\lambda\right)}\geq \dfrac{\lambda^{\dfrac{k+1}{2}}}{n^{\dfrac{k-3}{2}}.\lambda\left(n-1\right)}=\dfrac{1}{n-1}\sqrt{\dfrac{\lambda ^{k-1}}{n^{k-3}}}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.